時間：2022-05-07 21:05:59
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【關(guān)鍵詞】科學(xué)哲學(xué)/數(shù)學(xué)哲學(xué)/數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命
【正文】
本文有兩個互相關(guān)聯(lián)的目標：第一，對科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)進行比較，從而清楚地指明數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的革命性質(zhì)。
一、從一些具體的研究談起
如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題進行了系統(tǒng)和深入的研究，并發(fā)展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數(shù)學(xué)觀，從而為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數(shù)學(xué)的范圍，特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)曾對維也納學(xué)派的科學(xué)哲學(xué)研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者則曾在科學(xué)哲學(xué)的領(lǐng)域長期占據(jù)主導(dǎo)的地位。
然而，在四十年代以后，上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學(xué)派作出了極大的努力，他們的研究規(guī)劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經(jīng)歷了所說的“黃金時代”以后，數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數(shù)學(xué)哲學(xué)的困境相對照，科學(xué)哲學(xué)則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統(tǒng)進入了一個欣欣向榮的、新的發(fā)展時期。也正因為此，科學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展就對數(shù)學(xué)哲學(xué)家產(chǎn)生了巨大的吸引力，并對數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。
就科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅(qū)，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學(xué)哲學(xué)推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數(shù)學(xué)與一般自然（經(jīng)驗）科學(xué)之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。
為了使得由科學(xué)哲學(xué)中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究，最好的方法就是集中于相應(yīng)的研究問題，也即是希望通過以科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學(xué)哲學(xué)中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論，也即所謂的“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學(xué)的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學(xué)發(fā)展的方法論準則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認識到：“數(shù)學(xué)與經(jīng)驗科學(xué)之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學(xué)可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數(shù)學(xué)中卻不存在這樣的對應(yīng)物?！币虼耍贖allett看來，相應(yīng)的科學(xué)方法論準則（即新的理論能作出某些預(yù)言，這些預(yù)言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。
與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設(shè)性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學(xué)進步的準則。Hallett并指出，這一準則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應(yīng)思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。
在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關(guān)于科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中的思想或理論對于數(shù)學(xué)哲學(xué)“可應(yīng)用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數(shù)學(xué)：關(guān)于數(shù)學(xué)的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應(yīng)用到數(shù)學(xué)時，應(yīng)當(dāng)首先考慮兩個問題：第一，“在數(shù)學(xué)中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數(shù)學(xué)編年史的研究是否有確定的、富有成果的應(yīng)用？”
顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關(guān)于應(yīng)當(dāng)如何去從事數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）研究的基本思想。
正是從這樣的立場出發(fā)，Mehrtens提出：“盡管（數(shù)學(xué)中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現(xiàn)象，我對這兩個概念持否定的態(tài)度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具?！?/p>
當(dāng)然，上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態(tài)度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學(xué)共同體”這兩個概念對于數(shù)學(xué)史（和數(shù)學(xué)哲學(xué)）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學(xué)共同體的社會學(xué)概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們?yōu)閿?shù)學(xué)編年史提供了關(guān)鍵的概念。”
上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態(tài)度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究。
一般地說，基切爾在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫恩的科學(xué)哲學(xué)理論推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關(guān)于科學(xué)活動社會—文化性質(zhì)的分析等。另外，基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發(fā)，基切爾首先考察了什么是數(shù)學(xué)變化的基本單位?；袪枌懙溃骸耙粋€首要的任務(wù)，就是應(yīng)當(dāng)以關(guān)于數(shù)學(xué)變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘?dāng)?shù)學(xué)知識狀況’的模糊說法。這一問題與關(guān)注科學(xué)知識增長的哲學(xué)家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認為，在這兩種情形中，我們都應(yīng)借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長?！?/p>
在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業(yè)質(zhì)基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數(shù)學(xué)中的對應(yīng)物，而是對“數(shù)學(xué)實踐（活動）”的具體內(nèi)容作出了自己的獨立分析?；袪柼岢觯拔乙詾槲覀儜?yīng)當(dāng)集中于數(shù)學(xué)實踐的變化，并把數(shù)學(xué)實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認為是重要的問題，和元數(shù)學(xué)觀念。”顯然，這即是對庫恩基本思想的創(chuàng)造性應(yīng)用。
其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數(shù)學(xué)實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區(qū)別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉(zhuǎn)變當(dāng)然也是批判性的立場和獨立思考的直接結(jié)果。
二、新方向上研究的共同特征
盡管在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學(xué)哲學(xué)的重要影響。
1.對于數(shù)學(xué)經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性的肯定
所謂數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性，就其原始的意義而言，即是對數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)同一性（analogy，或similarity）的確認。這一認識事實上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點。
關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗性的斷言顯然正是對于傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學(xué)知識不應(yīng)被看成無可懷疑的絕對真理，數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非數(shù)學(xué)真理在數(shù)量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數(shù)學(xué)從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了?！?/p>
事實上，人們曾從各種不同的角度對數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經(jīng)驗性的肯定事實上也可被看成關(guān)于數(shù)學(xué)的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家所普遍接受的）的一個直接結(jié)論。這就是說，如果數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)一樣，最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，并構(gòu)成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數(shù)學(xué)的發(fā)展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復(fù)雜過程，而且，“數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學(xué)的認識論目標所決定的。”
其次，如果說數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性集中地反映了數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)的同一性，那么，對于數(shù)學(xué)擬經(jīng)驗性（quasi-empirical）的強調(diào)則就突出地表明了數(shù)學(xué)的特殊性。
具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應(yīng)用外，就數(shù)學(xué)理論而言，是否還存在其它的判斷標準？另外，擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學(xué)有自己特殊的價值標準，這就是新的研究工作對于數(shù)學(xué)自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數(shù)學(xué)工作者真實態(tài)度的一個直接反映。例如，美國著名數(shù)學(xué)家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結(jié)果的理解?！?/p>
由此可見，我們就應(yīng)同時肯定數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究中取得實質(zhì)性的進展，我們不僅應(yīng)當(dāng)保持頭腦的開放性，也即應(yīng)當(dāng)努力從科學(xué)哲學(xué)中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)的特殊性，即在一定程度上保持數(shù)學(xué)哲學(xué)的相對獨立性。
2.對于數(shù)學(xué)方法論的高度重視
理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中卻似乎沒有受到嚴重的挑戰(zhàn)，但是，后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展合理性的理論，恰恰相反，后一目標的實現(xiàn)還有待于長期的努力。
然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現(xiàn)今人們普遍地更加重視對那些源自科學(xué)哲學(xué)的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現(xiàn)已認識到，對于數(shù)學(xué)的社會—文化性質(zhì)的確認，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數(shù)學(xué)歷史發(fā)展合理性的同時，人們也認識到了這種發(fā)展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構(gòu)的，……即包括有一個社會協(xié)商的過程?！睆亩?，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發(fā)，格拉斯提出，我們應(yīng)對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應(yīng)當(dāng)用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡?！?/p>
值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個重要特點，特別是，這即是科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學(xué)派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學(xué)發(fā)展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的重要影響。
艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注與那些研究人類知識其它領(lǐng)域（特別是，自然科學(xué)）同一類型的問題。例如，哲學(xué)家們應(yīng)當(dāng)考慮這樣的問題：數(shù)學(xué)知識是如何增長的？什么是數(shù)學(xué)進步？是什么使得某一數(shù)學(xué)觀點（或理論）優(yōu)于其它的觀點（或理論）？什么是數(shù)學(xué)解釋？”特別是，“數(shù)學(xué)在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數(shù)學(xué)方法論作出恰當(dāng)?shù)恼f明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的核心問題。顯然，這一立場也是與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對于科學(xué)方法論的高度重視完全一致的。
3.對于數(shù)學(xué)史的強調(diào)
如眾所知，對于科學(xué)史的突出強調(diào)也是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學(xué)哲學(xué)長期為邏輯實證主義所支配，后者認為科學(xué)史是與他們的研究毫不相關(guān)的；但是，這種形勢現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學(xué)哲學(xué)家們現(xiàn)已認識到了歷史研究的重要性。”這就是說，“如果沒有給予科學(xué)史應(yīng)有的重視，科學(xué)性質(zhì)的分析就是不可能的?！笨茖W(xué)哲學(xué)的上述變化對在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家也產(chǎn)生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置?？梢哉f歷史方法事實上已成為數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的基本方法之一。
作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。
這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認為數(shù)學(xué)方法論的任一理論都應(yīng)用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)哲學(xué)家的密切合作，并認為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要論題可以由哲學(xué)家與歷史學(xué)家的有組織對話得到啟示?！覀兿Ｍ麣v史的材料能在數(shù)學(xué)哲學(xué)家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應(yīng)用；同樣地，我們也希望哲學(xué)家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學(xué)家提供新的問題和思想?！憋@然，這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史絕對地分割開來的作法是截然相反的。
最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數(shù)學(xué)史之上的數(shù)學(xué)哲學(xué)”。具體地說，相關(guān)的數(shù)學(xué)哲學(xué)家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學(xué)知識的這樣一種理論，它能正確地反映數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，即“現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)哲學(xué)來說，不僅不是無關(guān)的，并事實上占有核心的地位?！?/p>
4.實際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”
應(yīng)當(dāng)指出，對于數(shù)學(xué)史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學(xué)方法論的研究，而且也標志著數(shù)學(xué)哲學(xué)研究立場的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家們幾乎一致地認為，實際的數(shù)學(xué)活動應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)哲學(xué)理論研究的出發(fā)點和最終依據(jù)?！罢軐W(xué)沒有任何理由可以繼續(xù)無視實際的數(shù)學(xué)活動。事實上，正是這種實踐應(yīng)當(dāng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)提供問題及其解決所需要的素材。”
當(dāng)然，上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實際數(shù)學(xué)工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在對于這一領(lǐng)域（按指數(shù)學(xué)）中所實際發(fā)生的一切的仔細觀察之上。”
最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數(shù)學(xué)方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學(xué)家就可以此為依據(jù)對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數(shù)學(xué)家們則可能會發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過去的數(shù)學(xué)演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數(shù)學(xué)家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發(fā)作用。”顯然，這一認識與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對于方法論的強調(diào)是完全一致的。
三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命
從整體上說，與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)相比，新方向上的研究無論就基本的數(shù)學(xué)觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說，數(shù)學(xué)哲學(xué)已經(jīng)歷了一場深刻的革命。
1.研究立場的轉(zhuǎn)移，即由與實際數(shù)學(xué)活動的嚴重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。
由于深深地沉溺于對已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學(xué)派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認為應(yīng)當(dāng)對已有的數(shù)學(xué)理論和方法進行嚴格的批判或?qū)彶?，并通過改造或重建以徹底解決數(shù)學(xué)的可靠性問題。從而，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是一種規(guī)范性的研究，而也正因為此，基礎(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴重脫離實際數(shù)學(xué)活動的弊病。
與此相對照，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家普遍采取了相反的立場，即是認為數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)成為實際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”，也即應(yīng)當(dāng)“真實地反映當(dāng)我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學(xué)時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉(zhuǎn)移事實上也就意味著數(shù)學(xué)哲學(xué)性質(zhì)的重要改變：這已不再是實際數(shù)學(xué)工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。
2.對于數(shù)學(xué)史的高度重視。
由于邏輯主義等學(xué)派所關(guān)注的主要是數(shù)學(xué)的邏輯重建，因此，在這些學(xué)派看來，數(shù)學(xué)的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數(shù)學(xué)的哲學(xué)分析完全不相干的，而數(shù)學(xué)哲學(xué)家所唯一應(yīng)當(dāng)重視的則就是邏輯分析的方法。
與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家則普遍地對數(shù)學(xué)史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數(shù)學(xué)活動的歷史和社會層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學(xué)哲學(xué)與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別，而后者在本世紀前半葉曾在這一學(xué)科中占據(jù)支配的地位?！憋@然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現(xiàn)。
更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認識：“沒有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)哲學(xué)是空洞的；沒有數(shù)學(xué)哲學(xué)的數(shù)學(xué)史是盲目的?！保ɡㄍ兴拐Z）這不僅標志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）的研究指明了努力的方向。
3.研究問題的轉(zhuǎn)移。
由于對已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學(xué)派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點，因此，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題”展開的。這也就是指：如何為數(shù)學(xué)奠定可靠的基礎(chǔ)，從而徹底地解決數(shù)學(xué)的可靠性問題？
與此相對照，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)家一般不再關(guān)心數(shù)學(xué)的可靠性問題，而這事實上也就是數(shù)學(xué)工作者實際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一個明顯和無可辯駁的出發(fā)點，即人們具有一定的數(shù)學(xué)知識，這些數(shù)學(xué)知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。
對于力圖為實際數(shù)學(xué)工作者建立“活的哲學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)家來說，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的核心問題無疑就在于：如何對數(shù)學(xué)（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數(shù)學(xué)哲學(xué)始于這樣的思考，即是如何為數(shù)學(xué)提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)特性并對人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學(xué)活動作出解釋的綜合觀點?！憋@然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。
4.動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀對于靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀的取代。
盡管邏輯主義等學(xué)派對什么是數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現(xiàn)的又都可以說是一種靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數(shù)學(xué)奠定一個“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”，這樣，數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展也就可以被看成無可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。
如果說靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)的地位，那么，由于把著眼點轉(zhuǎn)移到了實際的數(shù)學(xué)活動，人們現(xiàn)已不再把數(shù)學(xué)的發(fā)展看成是無可懷疑的真理在數(shù)量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創(chuàng)造性活動，數(shù)學(xué)發(fā)展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復(fù)雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對主義的數(shù)學(xué)觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導(dǎo)的地位。
綜上可見，相對于基礎(chǔ)主義而言，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學(xué)哲學(xué)的影響有著十分緊密的聯(lián)系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的特殊重要性。
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數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)美即是蘊藏于它所特有的抽象概念、公式符號、命題模型、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、推理論證、思維方法……之中的簡單、和諧、嚴謹、奇異等形式，它是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自由形式，它揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美。數(shù)學(xué)中美的因素是多方面的、具體的、意義深刻的，其主要表現(xiàn)在以下四方面：
一、簡單性。
簡單性是美的特征，也是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)的簡單美具有形式簡潔、秩序、規(guī)整和高度統(tǒng)一的特點，還具有數(shù)學(xué)規(guī)律的普遍性和應(yīng)用的廣泛性。例如，眾所周知的三角形、平行四邊形、梯形的面積公式，形式多么簡潔規(guī)整，應(yīng)用又多么廣泛普遍。在梯形的面積公式s=1/2（a＋b）h（a為上底，b為下底，h為高）中，當(dāng)a=0時變成三角形的面積公式；當(dāng)a=b時，變成平形四邊形的面積公式，這種既有區(qū)別又有聯(lián)系、既對立又統(tǒng)一、從量變到質(zhì)變的辯證方法在數(shù)學(xué)中處處可見。其思維方法引入深思。
二、和諧性。
各種自然形態(tài)，特別是動植物的生態(tài)以及人類的許多造物形態(tài)都有蘊含豐富的數(shù)學(xué)關(guān)系，有豐富的對稱美、和諧美。作為反映和研究客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)科學(xué)，集中反映了這種美的特征。數(shù)學(xué)美的和諧性是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)完備和數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的均衡對稱。
三、嚴謹性。
嚴謹性是數(shù)學(xué)的獨持之美。它表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義準確地揭示了概念的本質(zhì)屬性；數(shù)學(xué)結(jié)論存在且唯一，對錯分明，不模棱兩可；數(shù)學(xué)的邏輯推理嚴密，從它的公理開始到演繹的最后一個環(huán)節(jié)不允許有一句假話，即使錯一個符號也不行。此外，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)調(diào)完備，數(shù)學(xué)圖形美麗和諧，數(shù)學(xué)語言生動嚴密等等都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴謹性，例如，極限過程，是一個無限接近的過程，人們無法經(jīng)歷它的全過程，而極限理論卻使我們在推理想象中完成這個過程。對它所推出的結(jié)論的正確性人們確信無疑，達到盡善盡美，令人陶醉的境界。數(shù)學(xué)美的這種嚴謹性，要求數(shù)學(xué)工作者具有實事求是，謙虛謹慎，孜孜不倦地追求真理的美德，這正是數(shù)學(xué)美的倫理價值所在。
四、奇異性。
數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)出了一種獨特的令人驚訝的奇異美。例如，歐拉發(fā)現(xiàn)的復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ=e（或i），當(dāng)θ=π時得到e十1（或ie）=0把五個重要的特殊的數(shù)0、1、π、e、i巧妙地聯(lián)系在一起。函數(shù)f（z）=x＋yi在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)卻處處不可導(dǎo)這一反例的構(gòu)思多么絕妙！諸如此類，好似天工巧設(shè)，出神入化，給人一種奇異的美感。
數(shù)學(xué)是美的，人的愛美天性在青少年時期表現(xiàn)尤為突出。數(shù)學(xué)教師理應(yīng)抓住這個最佳時期，不失時機地向?qū)W生揭示數(shù)學(xué)之美，進行審美教育，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的美育功能。
一、展示數(shù)學(xué)之美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
心理學(xué)研究表明：沒有絲毫興趣的強制性學(xué)習(xí)，將會扼殺學(xué)生探求真理的欲望。興趣是思維的動因之一，興趣是強烈而又持久的學(xué)習(xí)動機。只有學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，才能產(chǎn)生積極而又持久的求學(xué)勁頭。因此，教師應(yīng)充分運用數(shù)學(xué)美的誘發(fā)力引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣、強烈的求知欲望。具體方法如下：（一）通過生動的學(xué)生熟悉的實際事例、形象的直觀教具，組織學(xué)生進行實際操作等引入數(shù)學(xué)概念、定理、公式，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與日常生活密切相關(guān)；（二）結(jié)合教材內(nèi)容，向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)的發(fā)展史和進展情況以及在社會主義現(xiàn)代化建設(shè)中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生看到數(shù)學(xué)的用處，明確今天的學(xué)習(xí)是為了明天的應(yīng)用；（三）根據(jù)教材內(nèi)容，經(jīng)常有選擇地向?qū)W生介紹一些形象生動的數(shù)學(xué)典故、趣聞軼事和中外數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)思維王國的奧妙的故事；（四）根據(jù)教學(xué)需要和學(xué)生的智力發(fā)展水平提出一些趣味性思考性強的數(shù)學(xué)問題；等等。
二、融貫數(shù)學(xué)之美，加深知識理解。
數(shù)學(xué)美是美的高級形式，它的特點在于抽象的理性形式中包含著無限豐富的感性內(nèi)容。在教學(xué)中，教師運用大量生動的感性材料給學(xué)生以美感直覺，把抽象枯燥的數(shù)學(xué)概念、公式、定理先給學(xué)生以具體的直觀形象，再上升為理性形象，成為字母與運算符號間的造型藝術(shù)，使學(xué)生對所學(xué)知識易于接受，便于理解。教師通過嚴密的推理，生動的語言，優(yōu)美的圖形，科學(xué)的板書等作出審美示范，創(chuàng)設(shè)思維情境，把數(shù)學(xué)美的簡單統(tǒng)一、和諧對稱等特征融貫在教學(xué)的整個過程中，使學(xué)生在美的享受中獲得知識，理解知識，掌握知識。在潛移默化中理解數(shù)學(xué)美的真正含義。
教師通過引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進行前后比較，歸納總結(jié)，揭示內(nèi)在規(guī)律，形成有序結(jié)構(gòu)體系，并教給學(xué)生歸納整理的方法等手段融貫數(shù)學(xué)之美，既能促進學(xué)生進一步鞏固和加深對所學(xué)知識的理解和應(yīng)用，也能提高教學(xué)質(zhì)量，起到事半功倍的效果。例如，教師帶領(lǐng)學(xué)生把正棱柱內(nèi)接于圓錐、圓柱內(nèi)接于圓錐、圓柱內(nèi)接于球、圓錐內(nèi)接于球、圓臺內(nèi)接于球、球內(nèi)切于圓柱、球內(nèi)切于圓錐、球內(nèi)切于圓臺以及球內(nèi)切于正方體、球和正方體的所有棱都相切與球外接于正方體等等常見的特殊多面體與旋轉(zhuǎn)體的相“接”相“切”問題，畫出圖形、分析比較，區(qū)別異同。根據(jù)多面體與旋轉(zhuǎn)體的定義和性質(zhì)，歸納總結(jié)各種情況下“接”與“切”的空間位置關(guān)系和各個元素之間的相互數(shù)量關(guān)系，尋覓解決問題的截面和把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決的途徑。這些優(yōu)美對稱的圖形使學(xué)生看到美的形象，領(lǐng)略到美的神韻。在感受美、鑒賞美的過程中建立起“知識鏈”，形成了知識的有序結(jié)構(gòu)和解題的方法體系，鞏固和加深了對所學(xué)知識的理解和應(yīng)用。
三、創(chuàng)造數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)思維能力。
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)之一是在傳授數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)技能。技巧的過程中發(fā)展學(xué)生的思維能力。根據(jù)青少年“好想”、“好動”的特點，在教學(xué)中教師通過一題多解（證）、一題多變。一法多用、一圖多變等數(shù)學(xué)的奇異美，鼓勵學(xué)生多向思維，標新立異，找出最優(yōu)方法。教師要善于把握教學(xué)機制，創(chuàng)設(shè)思維境界，用數(shù)學(xué)美的進力啟迪學(xué)生思維，當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美感受最靈敏、最強烈、最深刻的時候，他們的思維也進入最佳時期，邏輯思維和靈感思維交融促進，聰明才智得到充分發(fā)揮，一旦“靈感”出現(xiàn)，他們就會感受到創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的喜悅和成功后的樂趣。毫無疑問他們的思維能力也得到培養(yǎng)和提高。
多數(shù)同學(xué)能用比較法、綜合法、分析法和反證法給出四種證明（證明略），初步享受到成功的喜悅。教師抓住時機，及時點撥，促進學(xué)生思維發(fā)散，鼓勵學(xué)生標新立異，引導(dǎo)學(xué)生觀察式子的整體結(jié)構(gòu)特征，發(fā)掘題中的隱含條件，尋求其它證法。數(shù)學(xué)美的誘發(fā)力喚起了學(xué)生濃厚的興趣，啟迪了他們的思維活動，經(jīng)過觀察、分析、聯(lián)想，有的同學(xué)給出了一些新穎證法，其中提出了一種三角證法。
學(xué)生親身感受到數(shù)學(xué)的奇異之美，陶醉到創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的愉悅之中。
這個對學(xué)生來說，可視為創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)。此時，師生情感交融，學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、深刻性、獨創(chuàng)性等諸方面得到培養(yǎng)和提高。
數(shù)學(xué)是思維的體操，發(fā)展數(shù)學(xué)的思維是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的靈魂。讓每個學(xué)生學(xué)會思考，這不僅是21世紀人才的需要，而且也是學(xué)生思維發(fā)展的標志。
分析解答應(yīng)用題的能力是學(xué)生邏輯思維能力的綜合體現(xiàn)。應(yīng)用題教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題和發(fā)展思維。因為在應(yīng)用題教學(xué)過程中，努力地展現(xiàn)教師的原始思維，讓學(xué)生積極參與教師的思維過程。這樣也許會現(xiàn)難堪的境地，但無論教師在展示過程中的思路，是成功的，還是失敗的，堅信它總是可以給學(xué)生帶來啟示的，這也是有的放矢地發(fā)展自然科學(xué)思維特有的素質(zhì)，從而發(fā)展學(xué)生的全面的數(shù)學(xué)能力素質(zhì)。現(xiàn)舉例說明如下：
例1某班用班費20元，買回乒乓球和羽毛球共44個，已知乒乓球每個0.4元，羽毛球每個0.5元，問兩種球各買多少個？
展示思維過程，這道應(yīng)用題涉及個數(shù)和錢的數(shù)量關(guān)系問題，必須明確個數(shù)、錢數(shù)的數(shù)量及其之間關(guān)系，因此通過列表加以分析解決：
乒乓球
羽毛球
總計數(shù)量
個數(shù)（個）
？
？
44
錢數(shù)（個）
？
？
20
由于乒乓球、羽毛球個數(shù)未知，雖然已知乒乓球、羽毛球每個的價錢，仍無法表達乒乓球、羽毛球所花費的錢數(shù)。因此，問題就轉(zhuǎn)入對乒乓球、羽毛球的個數(shù)的分析和設(shè)取。（這又恰好是我們問題要求的），如果我們設(shè)乒乓球的個數(shù)為x個，根據(jù)“買回乒乓球和羽毛球共44個”這一數(shù)量關(guān)系，羽毛球的個數(shù)便可表達為（44-x）個。這樣便設(shè)取出乒乓球和羽毛球的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與所花的球錢數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，便可表達出乒乓球和羽毛球所花的錢數(shù)，那么分析表格就成為：（注：①②③④為逐步分析設(shè)取表達的順序）
乒乓球
羽毛球
總計數(shù)量
個數(shù)（個）
x①
（44-x）②
44
錢數(shù)（個）
0.4x③
0.5（44-x）④
20
進而根據(jù)花費的錢數(shù)關(guān)系就可以列出方程：0.4x+0.5（44-x）=20
解：設(shè)乒乓球買回x個，那么羽毛球買回（44-x）個，根據(jù)題意得：
0.4x+0.5（44-x）=20
解這個一元一次方程，得：x=20
所以羽毛球個數(shù)：44-20=24（個）
答：乒乓球買回20個，羽毛球買回了24個。
例2現(xiàn)有溶度90%和45%的酒精溶液，各取多少千克能配制出75%的酒精溶液6千克？
展示思維過程：這道應(yīng)用題是有關(guān)溶度問題，必須明確溶液量、溶度、溶質(zhì)量的數(shù)量及其之間的關(guān)系，通過列表充分體現(xiàn)：
溶液量（千克）
溶度
溶質(zhì)量（千克）
配制前
？
90%
？
？
45%
？
配制后
6
75%
6×75%
由于所要取的溶液量未知，那各自溶液中所含的溶質(zhì)的量也就無法表達。因此，癥結(jié)轉(zhuǎn)入對所取各溶液量的分析和設(shè)取。如果設(shè)取90%的酒精溶液量為x千克，那么通過分析配制前后溶液量的變化，便可得出45%的酒精溶液量為（6-x）千克。進而根據(jù)溶度問題中最基本的關(guān)系即：溶質(zhì)量=溶液量×溶度，便可表達出各自溶液中所含純酒精（即溶質(zhì)量）的量，分析表格便成為：（注：①②③④為逐步分析設(shè)取表達的順序）
溶液量（千克）
溶度
溶質(zhì)量（千克）
配制前
x①
90%
90%x②
（6-x）③
45%
45%（6-x）④
配制后
6
75%
6×75%
從而根據(jù)配制前后溶質(zhì)的量的變化關(guān)系，便可列出方程：
解：設(shè)需要取90%的酒精溶液x千克，那么取45%的酒精溶液（6-x），
根據(jù)題意得：90%x+45%（6-x）=6×75%解這個方程得：x=4
所以45%的酒精溶液量：6-4=2（千克）
一、對中學(xué)數(shù)學(xué)思想的基本認識
“數(shù)學(xué)思想”作為數(shù)學(xué)課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認識。關(guān)于這個概念的內(nèi)涵，我們認為：數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學(xué)家；而認識的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等?？梢?，這些思想是歷代與當(dāng)代數(shù)學(xué)家研究成果的結(jié)晶，它們蘊涵于數(shù)學(xué)材料之中，有著豐富的內(nèi)容。
通常認為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進作用的。
關(guān)于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
從質(zhì)的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態(tài)認識與動態(tài)認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用
數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學(xué)及其研究對象，對數(shù)學(xué)知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認識。它表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。
(二)數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現(xiàn)實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學(xué)思想進行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。
(三)數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強奮戰(zhàn)的個性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。
三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能
我國《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須大力加強對數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。
(一)數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識點匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體?？梢?，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。
(二)數(shù)學(xué)思想是我們進行教學(xué)設(shè)計的指導(dǎo)思想
筆者認為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)分三個層次進行，這便是宏觀設(shè)計、微觀設(shè)計和情境設(shè)計。無論哪個層次上的設(shè)計，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數(shù)學(xué)活動過程中去。這種設(shè)計不能只是數(shù)學(xué)認識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個好的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)當(dāng)是歷史上數(shù)學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡縮，也應(yīng)當(dāng)是滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、使用現(xiàn)代手段實現(xiàn)的新的認識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應(yīng)概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預(yù)測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)。有了深刻的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計來，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性的思維活動來。這樣的教學(xué)設(shè)計，才能適應(yīng)瞬息萬變的技術(shù)革命的要求。靠一貫如此設(shè)計的課堂教學(xué)培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證
數(shù)學(xué)思想性高的教學(xué)設(shè)計，是高質(zhì)量進行教學(xué)的基本保證。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對的是幾十個學(xué)生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學(xué)生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當(dāng)適時地運用類比聯(lián)想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學(xué)生大膽地進行創(chuàng)造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學(xué)活動中來，真正成為教學(xué)過程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設(shè)計，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程。
有人把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量理解為學(xué)生思維活動的質(zhì)和量，就是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)效果?！靶隆敝笇W(xué)生的思維活動要有新意，“高”指學(xué)生通過學(xué)習(xí)能形成一定高度的數(shù)學(xué)思想，“深”則指學(xué)生參與到教學(xué)活動的程度。
1．適應(yīng)21世紀科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展和對人才的需求。
用越來越大。數(shù)學(xué)作為文化的重要組成部分，對提高人的整體素質(zhì)有著極為重要的作用。新世紀人才的主要特征是善于思考，勇于探索，大膽創(chuàng)造，不斷進齲因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)以未來社會生活中所需要的基本數(shù)學(xué)思想為主線精選教學(xué)內(nèi)容，力求加強基礎(chǔ)，反映本質(zhì)，建立新的知識結(jié)構(gòu)；著眼于讓學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想和方法來分析問題和解決問題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造意識和開拓精神。
2．充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具性。
是人們進行交流的工具。數(shù)學(xué)的符號、圖象、術(shù)語和表格是一種專門性的科學(xué)語言，這是信息交流中必不可少的語言。數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生掌握這種科學(xué)語言，并運用它去理解和表達思想，運用它儲存和傳遞信息。
3．突出數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用。
生活中、生產(chǎn)中和市場流通中所遇到的數(shù)學(xué)問題的能力，小學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)精選出最具有實用價值、最基礎(chǔ)的知識作為教學(xué)內(nèi)容。
教學(xué)方向大眾化
近年來，國際數(shù)學(xué)教育界提出“大眾數(shù)學(xué)”、“人人都要學(xué)會的數(shù)學(xué)”等口號?！按蟊姅?shù)學(xué)”主要針對以前數(shù)學(xué)太難、太深、要求太高，只有少數(shù)學(xué)生能學(xué)好，大多數(shù)學(xué)生望而生畏，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生冷漠、恐懼、討厭的狀況而提出來的。其含義有兩層：一是數(shù)學(xué)要為大眾所掌握；二是大眾所需要的數(shù)學(xué)，要為大眾所利用。事實上，我國義務(wù)教育階段所規(guī)定的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是人人都能學(xué)，人人都需要學(xué)的。
人類社會發(fā)展到今天，已使數(shù)學(xué)從神秘走向現(xiàn)實，從書齋走向社會，從學(xué)者走向大眾，21世紀的數(shù)學(xué)課程，應(yīng)該使所有的學(xué)生都能學(xué)好，學(xué)得主動、生動活潑。
教學(xué)方法自主化
近十幾年來，各種新教法不斷產(chǎn)生和引進，如發(fā)現(xiàn)教學(xué)、嘗試教學(xué)、愉快教學(xué)、情境教學(xué)等已被越來越多的教師所接受，但從總體而言，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)基本模式，仍然是僅僅著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的增長和積累，滿足于學(xué)生對知識的機械記憶和學(xué)會模仿解題。
灌輸式的教學(xué)模式已沿襲了千百年，有著極大的慣性。有些課，看上去有了啟發(fā)提問、課中游戲、學(xué)具操作等，顯得熱熱鬧鬧，但還是按照教師預(yù)先設(shè)計的框框在運行，學(xué)生仍處于被動接受的地位。
新世紀的數(shù)學(xué)教育，在教學(xué)方法上應(yīng)該有所突破，關(guān)鍵在于真正做到自主化。
所謂自主化，簡單他說，是在教師指導(dǎo)下，要求學(xué)生主動參與，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。學(xué)習(xí)過程是學(xué)生在一定的條件下對客觀事物的反映過程，是一個主動的建構(gòu)過程，作為認識對象的知識并不像實物一樣，可以由教師簡單地傳遞給學(xué)生，必須靠學(xué)生自己來建構(gòu)，并且納入他自己原有的知識結(jié)構(gòu)中，別人是無法代替的。數(shù)學(xué)教學(xué)主要是思維活動的教學(xué)，教師應(yīng)要求學(xué)生主動參與，讓學(xué)生自由地思考，鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的看法，勇于提出猜想，質(zhì)疑問難，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神。
課堂結(jié)構(gòu)高效化
教改的關(guān)鍵是教師，教改的核心在課堂，課堂教學(xué)是教學(xué)的基本形式，它是教學(xué)工作的中心環(huán)節(jié)，其他如課外活動、個別輔導(dǎo)、家庭作業(yè)等僅是教學(xué)的輔助形式，是課堂教學(xué)的補充和延續(xù)。因此，教改的重點應(yīng)該放在提高課堂教學(xué)效率上。
新世紀的數(shù)學(xué)教育，必須把提高課堂教學(xué)效率作為教改的首要問題，向課堂教學(xué)時間要質(zhì)量，向教育科學(xué)和教學(xué)方法要質(zhì)量。用加重學(xué)生課業(yè)負擔(dān)，犧牲學(xué)生的健康來提高教學(xué)質(zhì)量的做法是絕對不可取的，也是不允許的。
課堂結(jié)構(gòu)高效化并不一定是大容量、快節(jié)奏和高要求，衡量課堂結(jié)構(gòu)達到高效化有五個主要因素：學(xué)生主動、積極的參與程度；學(xué)生掌握知識、能力和方法的水平，學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)的數(shù)量和質(zhì)量；課堂信息反饋暢通的程度，能否做到及時反愧及時調(diào)節(jié)；充分有效地利用教學(xué)時間。
基本訓(xùn)練序列化
小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的一條成功經(jīng)驗是加強雙基（基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本能力訓(xùn)練），使小學(xué)生打好扎實的知識基礎(chǔ)，有良好的數(shù)學(xué)基本功。
多年的教學(xué)實踐證明，什么時候加強雙基，教學(xué)質(zhì)量就提高；什么時候削弱雙基，教學(xué)質(zhì)量就下降。從第二次國際教育成就評價課題測試結(jié)果看，在參加的2l個國家或地區(qū)中，我國小學(xué)數(shù)學(xué)成績名列第一，表明我國小學(xué)生有扎實的數(shù)學(xué)基本功。
新世紀的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，應(yīng)該繼承和發(fā)展我國抓雙基的成功經(jīng)驗，為了加強基本能力的訓(xùn)練，必須先解決基本訓(xùn)練的規(guī)范化、序列化、科學(xué)化問題，其中關(guān)鍵的問題是序列化。首先應(yīng)確定哪些是基本訓(xùn)練的內(nèi)容，然后根據(jù)各年級的教學(xué)要求，由淺入深地安排，形成一個符合小學(xué)數(shù)學(xué)特點和兒童年齡特點的基本訓(xùn)練序列，使基本訓(xùn)練走上科學(xué)化的道路。
教學(xué)手段多樣化
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，從概念到概念，教師靠粉筆和黑板講解，學(xué)生靠筆和紙學(xué)習(xí)。這種落后的辦法沿襲了幾百年。
新世紀的數(shù)學(xué)教育必須采用新技術(shù)使教學(xué)手段現(xiàn)代化和多樣化。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)手段主要有教具、學(xué)具、電教手段以及計算機輔助教學(xué)手段等。
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中使用教具有重要作用：為學(xué)生提供數(shù)學(xué)模型和豐富感性認識；幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念和潔則；有助于發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力；有利于節(jié)省課堂教學(xué)時間，減輕學(xué)生過重課業(yè)負擔(dān)。因此，應(yīng)該積極開展研制工作，為學(xué)校配置全套數(shù)學(xué)教具。
教師有教具，學(xué)生應(yīng)該有學(xué)具，教師演示教具，學(xué)生看得見，摸不著，有一定的局限性。教學(xué)中，讓學(xué)生動手操作學(xué)具，一邊操作，一邊思考，可以促使學(xué)生積極參與教學(xué)過程，加深對知識的理解和掌握，有利于思維品質(zhì)的發(fā)展。因此，應(yīng)該抓緊對小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)具的研制和開發(fā)，通過試驗，逐步推廣使用。
電教手段和計算機輔助教學(xué)手段在21世紀數(shù)學(xué)教育中將被廣泛應(yīng)用，目前也應(yīng)抓緊研究開發(fā)，并注意規(guī)范、系統(tǒng)，逐步積累經(jīng)驗和推廣應(yīng)用。
計算工具電子化
21世紀的數(shù)學(xué)教育，必將從原始的紙筆計算轉(zhuǎn)到使用計算器和計算機，這是新技術(shù)發(fā)展的必然趨勢。關(guān)于計算器是否適合小學(xué)生使用，國際上曾有三派意見第一派主張小學(xué)生可以使用計算器。理由是：①適應(yīng)時展的需要，社會上已普遍使用計算器，小學(xué)生學(xué)會使用計算器是一種必要的能力；②可以減輕學(xué)生的計算負擔(dān)，使學(xué)生把主要精力放在理解概念和進行推理思考上；③有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
第二派主張禁止小學(xué)生使用計算器。理由是：學(xué)生會依賴計算器，造成學(xué)生計算能力低下。
第三派是既不反對又不主張，采取等待觀望態(tài)度。
經(jīng)過多年的爭論和實踐，目前已逐步趨向一致意見：計算器必須進入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂。各國在做法上有所不同，有的從一年級就開始使用；有的在低、中年級不用，到高年級開始使用。我贊成后一種做法，在低、中年級不允許使用計算器，可以使學(xué)生集中精力學(xué)好練好基本的計算技巧，養(yǎng)成一定的口算、筆算能力。到高年級允許學(xué)生使用計算器，有助于學(xué)生解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，減輕負擔(dān)，把主要精力放在思維活動方面。
考試方法標準化
減輕學(xué)生的過重課業(yè)負擔(dān)問題已經(jīng)強調(diào)了多少年，社會各界人士大聲疾呼，教育行政部門也三令五申，為什么學(xué)生的過重課業(yè)負擔(dān)始終降不下來，這不能不引起大家的深思。
追究原因，有的責(zé)怪教師，片面追求升學(xué)率；有的埋怨出版社，濫編復(fù)習(xí)資料、練習(xí)冊。我認為這些不是主要原因，主要原因在于考試命題超大綱、超教材，要求過高，題目又多又難。
我分析了前幾年一些地區(qū)的畢業(yè)試卷，大都有10％左右的題目超出大綱要求，題量也很大，教師心中無數(shù)，就用題海戰(zhàn)術(shù)來對付，求助于各種復(fù)習(xí)資料和練習(xí)冊。因此，減輕學(xué)生過重課業(yè)負擔(dān)的關(guān)鍵是把好考試關(guān)，嚴格按照教學(xué)大綱和教材命題。
一、試卷講評的特點
講評除遵循一般的教學(xué)規(guī)律和原則外，還具有自身的教學(xué)特點。
1．突出針對性教師要準確分析學(xué)生在知識和思維方面的薄弱環(huán)節(jié)，找出復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的具有共性的典型問題，針對導(dǎo)致錯誤的根本原因及解決問題的方法進行評講，另外對內(nèi)涵豐富、有一定背景的試題，即使這個題目解答無多大錯誤，也應(yīng)以它為例并對它豐富的內(nèi)涵和背景進行針對性講評，以發(fā)揮試題的更大作用以及拓展學(xué)生的知識視野。2．強調(diào)層次性講評是全體師生的雙邊活動，但不同學(xué)生存在的問題不盡相同，因而要調(diào)動各層次學(xué)生都積極參與講評活動，使每一位學(xué)生都有所收獲。這就要求教師從整體上把握講評內(nèi)容的層次性，使內(nèi)容層次與學(xué)生層次相吻合。
3．注意新穎性講評課涉及的內(nèi)容都是學(xué)生已學(xué)過的知識，但評講內(nèi)容決不應(yīng)是原有形式的簡單重復(fù)，必須有所變化和創(chuàng)新。在設(shè)計講評方案時，對于同一知識點應(yīng)多層次、多方位加以解剖分析，同時注意對所學(xué)過的知識進行歸納總結(jié)、提煉升華，以嶄新的面貌展示給學(xué)生，在掌握常規(guī)思路和解法的基礎(chǔ)上，啟發(fā)新思路，探索巧解、速解和一題多解，讓學(xué)生感到內(nèi)容新穎，學(xué)有所思，思有所得。通過講評訓(xùn)練學(xué)生由正向思維向逆向思維、發(fā)散思維過渡，提高分析、綜合和靈活運用能力。
4．講究激勵性小學(xué)生的情感，經(jīng)常表現(xiàn)出強烈的兩極性，一場考試后常會引出一些意想不到的結(jié)果。因而試卷講評時，不可忽視各類學(xué)生的心理狀態(tài)，要用好激勵手段。對各種優(yōu)點的表揚要因人而異，讓受表揚者既有動力又有壓力，對存在的問題提出善意批評的同時，應(yīng)包含殷切的期望，使學(xué)生都能面對現(xiàn)實，找到自己努力的目標，振作精神，積極地投入到下一階段復(fù)習(xí)中去。
二、試卷講評的方式
講評的方式是由試題的內(nèi)涵和外延所決定的，一般說來，主要有以下幾種。
1．設(shè)疑引導(dǎo)的診斷性講評
這種講評主要針對考試中出現(xiàn)的有共性的典型錯誤，通過評講查“病情”，找“病源”，從而達到提高學(xué)生辨析能力的目的。
在講評方法上強調(diào)學(xué)生的積極參與，教師通過提問、設(shè)疑，幫助學(xué)生弄清楚錯誤根源。例如：甲、乙、丙、丁四人合買一艘游艇，甲付的錢數(shù)是其余三人所付總錢數(shù)的1/2，乙付的錢數(shù)是其余三人所付總錢數(shù)的1/3，丙付的錢數(shù)是其余三人所付總錢數(shù)的1/4，丁付了1300元。這艘游艇值多少錢？
這是一道較難的分數(shù)應(yīng)用題。從表面上看，甲、乙、丙、丁四人所付的錢各是“其余三人所付的1/2、1/3或1/4，但“其余三人”不是同一的三人，也就是說1/2、1/3、1/4不是同一個數(shù)量的1/2、1/3、1/4。講評時為了對癥下藥，疏通障礙，我出示“甲班人數(shù)是乙班的51/2”，要求學(xué)生進行如下變換敘述：
（1）以甲班人數(shù)作為單位1，那么乙班人數(shù)是甲班的（）
（2）以兩班人數(shù)和作為單位1，那么甲班人數(shù)占兩班人數(shù)和的（）
（3）以兩班人數(shù)差作為單位1，那么甲班人數(shù)是兩班人數(shù)差的（）
這樣鋪墊、引導(dǎo)，調(diào)動了各層次學(xué)生都積極參與講評，有效地理順了學(xué)生對題意理解的復(fù)雜頭緒，使難題迎刃而解。
2．典型解剖的發(fā)散性講評
發(fā)散性講評針對試卷中具有較大靈活性和剖析余地的典型試題作進一步“借題發(fā)揮”，引起學(xué)生思維的發(fā)散，開拓思考的視野，發(fā)散性講評倡導(dǎo)一題多解，倡導(dǎo)從多角度思考分析問題。同時重視介紹解題者運用了哪些技巧和方法，進行了怎樣的分析才完成了知識的遷移。例如：某鄉(xiāng)政府拉一車精白粉和標準粉救濟困難戶，每到一戶從車上卸下2袋精白粉、5袋標準粉，最后恰好把精白粉卸完，還剩下11袋標準粉。
這時他們才想起原來的標準粉比精白粉多2倍，問車上原有精白粉和標準粉各多少袋？
[論文摘要]:愛因斯坦說過“興趣是最好的老師”。數(shù)學(xué)概念引入的好壞往往直接影響著學(xué)生對整個概念理解的效果，好的引入可以集中學(xué)生的注意力，啟發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機，使學(xué)生聽課能抓住重點，產(chǎn)生強烈的求知欲望。文章主要針對數(shù)學(xué)概念的引入舉例講授幾種常見的方法并且分析其優(yōu)點。
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細胞，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心。數(shù)學(xué)定理、公式和方法都是反映數(shù)學(xué)對象和數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系，只有具有正確明晰的概念，才能牢固的掌握基礎(chǔ)知識。同時，在深入理解數(shù)學(xué)概念的過程中使得學(xué)生的抽象思維得到發(fā)展。在教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)概念有一個準備過程，這個過程就稱為“概念的引入”。
一、從與概念有關(guān)的趣事引入
興趣可以喚起某種動機，興趣可以培養(yǎng)人的意志，改變?nèi)说膽B(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。因此我們在備課時要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關(guān)本節(jié)概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學(xué)生注意力，調(diào)動其積極思維，使學(xué)生既對概念感興趣，又大致了解這個概念的知識用途。
舉例說明：介紹“點的軌跡”。老師事先準備好一段麻繩和一個彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉(zhuǎn)。這樣一來，學(xué)生注意力一下子被吸引，并且表現(xiàn)出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學(xué)生解釋剛才的現(xiàn)象。學(xué)生的思維被調(diào)動起來。在對學(xué)生的解釋作出評價后，引出課題“點的軌道”然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活中常見的“點的軌道”現(xiàn)象給下定義。這樣，一個抽象的概念就在有趣的實驗中得到充分的展示，學(xué)生對于點的軌跡也有了形象的理解。從實物引入概念，反映了概念的物質(zhì)性、現(xiàn)實性，符合認識規(guī)律，給學(xué)生留下的印象比較深刻持久。
二、問題引入
波利亞說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟。先提出一個典型問題，讓學(xué)生動腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學(xué)生對概念的理解更加深入。
舉例說明：按比例分配的概念。在學(xué)習(xí)按比例分配時，老師可以提出這樣的問題：“同學(xué)們，今天老師帶了12個乒乓球作為禮物送給3個同學(xué)，應(yīng)該如何分配？”“平均分。”“假如把這12個乒乓球作為獎品，獎給在運動會中獲得一二三等獎的同學(xué)，又該如何分配呢？”在學(xué)生積極思考后，老師可以說：“其實，在我們的日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟建設(shè)等各項工作中，都會遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學(xué)生在思考的過程中加深對概念的理解！
三、舊知引入
中國古典小說，在每章節(jié)末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------?！倍潭痰膸拙湓?，承先啟后，銜接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。
舉例說明：幾何概念的貫穿。在學(xué)習(xí)幾何知識時，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結(jié)構(gòu)，且用數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認知結(jié)構(gòu)中去。比如還可以在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形”的概念的基礎(chǔ)上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式給出，讓學(xué)生主動地與自己的頭腦中原有的知識相互聯(lián)系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。
四、聯(lián)系實際引入
新課程標準要求：“數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，將數(shù)學(xué)與學(xué)生生活、學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，學(xué)習(xí)有活力的、活生生的數(shù)學(xué)”。那么，用生活中的實際例子來引入數(shù)學(xué)概念，聯(lián)系生活實際講數(shù)學(xué)，把生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)問題生活化，更有利于學(xué)生掌握和理解概念。
舉例說明：比例的意義與性質(zhì)。老師說：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了比，在我們?nèi)梭w上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計算的，今天我們就來研究比例的意義和性質(zhì)?！崩蠋熯x取一些生動形象的實際例子來引入數(shù)學(xué)概念，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機，又符合學(xué)生由感性到理性的認識規(guī)律。
五、通過類比引入
根據(jù)新舊知識的連結(jié)點、相似點，采用類比的方法引入概念。數(shù)學(xué)有著嚴密的科學(xué)體系，數(shù)學(xué)知識的連貫性很強，多數(shù)概念都產(chǎn)生于或者發(fā)展與相應(yīng)的原有知識的基礎(chǔ)上，所以用類比引入新概念有利于學(xué)生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力。
舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數(shù)的等式；不等式：表示兩個數(shù)或兩個代數(shù)式不相等的算式。（2）類比“分數(shù)”和“分式”：分數(shù)：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。分母表示把一個物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導(dǎo)入自然，使學(xué)生能從類推中促進知識的遷移，發(fā)現(xiàn)新知識，從而掌握新知識。
參考文獻
[1]吳憲芳.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].湖北教育出版社,2005.
目前國際數(shù)學(xué)界普遍贊同通過開展數(shù)學(xué)建?；顒雍驮跀?shù)學(xué)教學(xué)中推廣使用現(xiàn)代化技術(shù)來推動數(shù)學(xué)教育改革。美國、德國、日本等發(fā)達國家普遍都十分重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)，把數(shù)學(xué)建?；顒訌拇髮W(xué)生向中學(xué)生轉(zhuǎn)移是近年國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一種趨勢?！拔覈臄?shù)學(xué)教育在很長一段時間內(nèi)對于數(shù)學(xué)與實際、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系未能給予充分的重視，因此，高中數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實際方面需要大力加強?！蔽覈胀ǜ咧行碌臄?shù)學(xué)教學(xué)大綱中也明確提出要切實培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，要求增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，能初步運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題。這些要求不僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要。因此我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，而且要提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生自覺地運用數(shù)學(xué)知識去處理和解決日常生活中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)。而數(shù)學(xué)建模通過"從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，求解數(shù)學(xué)模型，回到現(xiàn)實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際"這一過程，促使學(xué)生圍繞實際問題查閱資料、收集信息、整理加工、獲取新知識，從而拓寬了學(xué)生的知識面和能力。數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實際問題中，是培養(yǎng)和提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一，是改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式的突破口。因此有計劃地開展數(shù)學(xué)建模活動，將有效地培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。
數(shù)學(xué)建?？梢蕴岣邔W(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不怕吃苦、敢于戰(zhàn)勝困難的堅強意志，培養(yǎng)自律、團結(jié)的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀。具體的調(diào)查表明，大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)建模比較感興趣，并不同程度地促進了他們對于數(shù)學(xué)及其他課程的學(xué)習(xí)．有許多學(xué)生認為："數(shù)學(xué)源于生活，生活依靠數(shù)學(xué)，平時做的題都是理論性較強，實際性較弱的題，都是在理想化狀態(tài)下進行討論，而數(shù)學(xué)建模問題貼近生活，充滿趣味性"；"數(shù)學(xué)建模使我更深切地感受到數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)問題的廣泛，使我們對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性理解得更為深刻"。數(shù)學(xué)建模能培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)進行分析、推理、證明和計算的能力；用數(shù)學(xué)語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數(shù)學(xué)結(jié)果的能力；應(yīng)用計算機及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力；獨立查找文獻，自學(xué)的能力，組織、協(xié)調(diào)、管理的能力；創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力。由此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模知識是很有必要的。
那么當(dāng)前我國高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和建模能力如何呢？下面是節(jié)自有關(guān)人士對某次競賽中的一道建模題目學(xué)生的作答情況所作的抽樣調(diào)查。題目內(nèi)容如下：
某市教育局組織了一項競賽，聘請了來自不同學(xué)校的數(shù)名教師做評委組成評判組。本次競賽制定四條評分規(guī)則，內(nèi)容如下：
（1）評委對本校選手不打分。
（2）每位評委對每位參賽選手（除本校選手外）都必須打分，且所打分數(shù)不相同。
（3）評委打分方法為：倒數(shù)第一名記1分，倒數(shù)第二名記2分，依次類推。
（4）比賽結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從高到低排序，依此確定本次競賽的名次，以平均分最高者為第一名，依次類推。
本次比賽中，選手甲所在學(xué)校有一名評委，這位評委將不參加對選手甲的評分，其他選手所在學(xué)校無人擔(dān)任評委。
（Ⅰ）公布評分規(guī)則后，其他選手覺得這種評分規(guī)則對甲更有利，請問這種看法是否有道理？（請說明理由）
（Ⅱ）能否給這次比賽制定更公平的評分規(guī)則？若能，請你給出一個更公平的評分規(guī)則，并說明理由。
本題是一道開放性很強的好題，給學(xué)生留有很大的發(fā)揮空間，不少學(xué)生都有精彩的表現(xiàn)，例如關(guān)于評分規(guī)則的修正，就有下列幾種方案：
方案1：將選手甲所在學(xué)校評委的評分方法改為倒數(shù)第一名記1+分，倒數(shù)第二名記2+，…依次類推；（評分標準）
方案2：將選手甲所在學(xué)校評委的評分方法改為在原來的基礎(chǔ)上乘以；
方案3：對甲評分時，用其他評委的平均分計做甲所在學(xué)校評委的打分；
然而也有不少學(xué)生為空白，究其原因可能除了時間因素，學(xué)生對于較長的文字表述產(chǎn)生畏懼心理、不能正確閱讀是重要因素。同時，一些學(xué)生由于不能正確理解規(guī)則（3），得出選手甲的平均得分為，其他選手的平均得分為，從而得出錯誤結(jié)論.不少學(xué)生出現(xiàn)“甲所在學(xué)校的評委會故意壓低其他選手的分數(shù)，因而對甲有利”的解釋，而沒有意識到作出必要的假設(shè)是數(shù)學(xué)建模方法中的重要且必要的一環(huán)。有些學(xué)生在正確理解題意的基礎(chǔ)上，提出了“規(guī)則對甲有利”的理由，例如：排名在甲前的同學(xué)少得了1分；甲所在學(xué)校的評委不給其他選手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他選手高；相當(dāng)于甲所在學(xué)校的評委把最高分給了甲；甲少拿一個分數(shù)，若少拿最低分，則有利；若少拿最高分，則不利；等等。以上各種想法都有道理，遺憾的是大部分學(xué)生僅僅停留在這些感性認識和文字說明上，沒能進一步引進數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)符號去進行理性的分析。如何衡量規(guī)則的公平性是本題的關(guān)鍵，也是建模的原則。很少有學(xué)生能夠明確提出這個原則，有些學(xué)生在第2問評分規(guī)則的修正中，提出“將甲所在學(xué)校的評委從評判組中剔除掉”，這種辦法違背實際的要求。有些學(xué)生被生活中一些現(xiàn)象誤導(dǎo)，提出“去掉最高分和最低分”的評分規(guī)則修正方法，而不去從數(shù)學(xué)的角度分析和研究。
通過對這道高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽題解答情況的分析，我們了解到學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識和建模能力的現(xiàn)狀不容樂觀。學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用能力上存在的一些問題：（1）數(shù)學(xué)閱讀能力差，誤解題意。（2）數(shù)學(xué)建模方法需要提高。（3）數(shù)學(xué)應(yīng)用意識不盡人意數(shù)學(xué)建模意識很有待加強。新課程標準給數(shù)學(xué)建模提出了更高的要求，也為中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展提供了很好的契機，相信隨著新課程的實施，我們高中生的數(shù)學(xué)建模意識和建模能力會有大的提高！
那么高中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)如何進行呢？數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。不同于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實驗室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標來組織教學(xué)工作。通過教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力。數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計好的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動查閱文獻資料和學(xué)習(xí)新知識，鼓勵學(xué)生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學(xué)過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，強調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果。
（一）在教學(xué)中傳授學(xué)生初步的數(shù)學(xué)建模知識。
中學(xué)數(shù)學(xué)建模的目的旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，掌握數(shù)學(xué)建模的方法，為將來的學(xué)習(xí)、工作打下堅實的基礎(chǔ)。在教學(xué)時將數(shù)學(xué)建模中最基本的過程教給學(xué)生：利用現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，向?qū)W生介紹一些常用的、典型的數(shù)學(xué)模型。如函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型、幾何模型、三角模型、方程模型等。教師應(yīng)研究在各個教學(xué)章節(jié)中可引入哪些數(shù)學(xué)基本模型問題，如儲蓄問題、信用貸款問題可結(jié)合在數(shù)列教學(xué)中。教師可以通過教材中一些不大復(fù)雜的應(yīng)用問題，帶著學(xué)生一起來完成數(shù)學(xué)化的過程，給學(xué)生一些數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的初步體驗。
例如在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的最值問題后，通過下面的應(yīng)用題讓學(xué)生懂得如何用數(shù)學(xué)建模的方法來解決實際問題。例：客房的定價問題。一個星級旅館有150個客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：每間客房定價為160元時，住房率為55%，每間客房定價為140元時，住房率為65%，
每間客房定價為120元時，住房率為75%，每間客房定價為100元時，住房率為85%。欲使旅館每天收入最高，每間客房應(yīng)如何定價？
[簡化假設(shè)]
（1）每間客房最高定價為160元；
（2）設(shè)隨著房價的下降，住房率呈線性增長；
（3）設(shè)旅館每間客房定價相等。
[建立模型]
設(shè)y表示旅館一天的總收入，與160元相比每間客房降低的房價為x元。由假設(shè)（2）可得，每降價1元，住房率就增加。因此
由可知
于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，y的最大值是多少？
[求解模型]
利用二次函數(shù)求最值可得到當(dāng)x=25即住房定價為135元時，y取最大值13668.75（元），
[討論與驗證]
（1）容易驗證此收入在各種已知定價對應(yīng)的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價為140元也是可以的，因為此時它與最高收入只差18.75元。
（2）如果定價為180元，住房率應(yīng)為45%，相應(yīng)的收入只有12150元，因此假設(shè)（1）是合理的。
（二）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，增強數(shù)學(xué)建模意識。
首先，學(xué)生的應(yīng)用意識體現(xiàn)在以下兩個方面：一是面對實際問題，能主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中能夠認識到數(shù)學(xué)是有用的。二是認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用：生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在他的身邊。其次，關(guān)于如何培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識：在數(shù)學(xué)教學(xué)和對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)中，介紹知識的來龍去脈時多與實際生活相聯(lián)系。例如，日常生活中存在著“不同形式的等量關(guān)系和不等量關(guān)系”以及“變量間的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系”、“變相間的非確切的相關(guān)關(guān)系”、“事物發(fā)生的可預(yù)測性，可能性大小”等，這些正是數(shù)學(xué)中引入“方程”、“不等式”、“函數(shù)”“變量間的線性相關(guān)”、“概率”的實際背景。另外鍛煉學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)語言描述周圍世界出現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)是一種“世界通用語言”它能夠準確、清楚、間接地刻畫和描述日常生活中的許多現(xiàn)象。應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成運用數(shù)學(xué)語言進行交流的習(xí)慣。例如，當(dāng)學(xué)生乘坐出租車時，他應(yīng)能意識到付費與行駛時間或路程之間具有一定的函數(shù)關(guān)系。鼓勵學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題。首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識系統(tǒng)去處理，當(dāng)然這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。學(xué)生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學(xué)建模意識貫穿在教學(xué)的始終，也就是要不斷的引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進而達到用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。通過教師的潛移默化，經(jīng)常滲透數(shù)學(xué)建模意識，學(xué)生可以從各類大量的建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運用數(shù)學(xué)知識進行建模的能力。
（三）在教學(xué)中注意聯(lián)系相關(guān)學(xué)科加以運用
在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)該重視選用數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物、美學(xué)等知識相結(jié)合的跨學(xué)科問題和大量與日常生活相聯(lián)系(如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面)的數(shù)學(xué)問題，從其它學(xué)科中選擇應(yīng)用題，通過構(gòu)建模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決該學(xué)科難題的能力。例如，高中生物學(xué)科以描述性的語言為主，有的學(xué)生往往以為學(xué)好生物學(xué)是與數(shù)學(xué)沒有關(guān)系的。他們尚未樹立理科意識，缺乏理科思維。比如：他們不會用數(shù)學(xué)上的排列與組合來分析減數(shù)分裂過程配子的基因組成；也不會用數(shù)學(xué)上的概率的相加、相乘原理來解決一些遺傳病機率的計算等等。這些需要教師在平時相應(yīng)的課堂內(nèi)容教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模。因此我們在教學(xué)中應(yīng)注意與其它學(xué)科的呼應(yīng)，這不但可以幫助學(xué)生加深對其它學(xué)科的理解，也是培養(yǎng)學(xué)生建模意識的一個不可忽視的途徑。又例如教了正弦函數(shù)后，可引導(dǎo)學(xué)生用模型函數(shù)寫出物理中振動圖象或交流圖象的數(shù)學(xué)表達式。
最后，為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先需要提高自己的建模意識。中學(xué)數(shù)學(xué)教師除需要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實生活。中學(xué)教師只有通過對數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究，才能準確地的把握數(shù)學(xué)建模問題的深度和難度，更好地推動中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的發(fā)展。
論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)應(yīng)用意識數(shù)學(xué)建模教學(xué)
論文摘要：為增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，切實培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，分析了高中數(shù)學(xué)建模的必要性，并通過對高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用及數(shù)學(xué)建模方面存在的問題，并針對問題提出了關(guān)于高中進行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的幾點意見。
參考文獻:
1.《問題解決的數(shù)學(xué)模型方法》北京師范大學(xué)出版社，1999.8
2.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗），人民教育出版社，2003.4
