時間：2023-09-07 09:19:01
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發(fā)表網(wǎng)為您精選了8篇測度論在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用，愿這些內(nèi)容能夠啟迪您的思維，激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
目前在一些高校培養(yǎng)研究生教育過程中側(cè)重知識的傳授而忽視學(xué)術(shù)道德素質(zhì)的培養(yǎng)，這就使得研究生缺乏學(xué)術(shù)規(guī)范意識造成一些不容忽視、甚至較為嚴(yán)重的學(xué)術(shù)不正、學(xué)術(shù)道德失范、學(xué)術(shù)腐敗的現(xiàn)象．這些現(xiàn)象存在于學(xué)術(shù)活動的各個環(huán)節(jié)，表現(xiàn)形式多種多樣，性質(zhì)也不盡相同，如學(xué)風(fēng)浮躁、急功近利、粗制濫造、弄虛作假、剽竊抄襲、學(xué)術(shù)交易、濫用他人成果、學(xué)術(shù)評審不公等．研究生學(xué)術(shù)造假的客觀原因主要是指畢業(yè)壓力、就業(yè)壓力和功利目的．的數(shù)量或質(zhì)量不達(dá)標(biāo)，不能獲取獎學(xué)金，不能畢業(yè)．那些想要按時畢業(yè)，卻又不愿意踏踏實實靜下心來做研究的學(xué)生，往往心存僥幸，把別人的文章進(jìn)行簡單拼湊，甚至直接照搬照抄別人的研究成果，企圖蒙混過關(guān)．為了獲取獎學(xué)金和各種獎勵、榮譽，有些學(xué)生也選擇造假．對研究生來說，獎學(xué)金的評審和表彰獎勵的評定，也是與的數(shù)量和質(zhì)量密切相關(guān)的．因而，一些研究生東拼西湊，盲目追求論文的數(shù)量．國內(nèi)有些期刊，只需交納版面費而不需嚴(yán)格的審稿流程就能，也助長了學(xué)生的這種做法．
概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)研究生教學(xué)改革措施：
1控制招生規(guī)模，改善辦學(xué)條件
在招生時，要充分評估本校現(xiàn)有軟硬件資源，考慮資源的承受能力，嚴(yán)格控制招生數(shù)量．高校應(yīng)當(dāng)加大對教學(xué)基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)投入，改善辦學(xué)條件．盡快建立與研究型大學(xué)相匹配的研究生教學(xué)大樓、實驗大樓，為研究生的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供有力的物質(zhì)保障．此外，高校還應(yīng)當(dāng)加強導(dǎo)師隊伍的建設(shè)．因為導(dǎo)師的質(zhì)量直接決定了研究生的質(zhì)量．學(xué)校要把好導(dǎo)師遴選的質(zhì)量關(guān)，做好導(dǎo)師的崗前培訓(xùn)和考核，建立一支能體現(xiàn)本學(xué)科特色的學(xué)術(shù)梯隊、學(xué)術(shù)團隊，對有突出貢獻(xiàn)的導(dǎo)師實施物質(zhì)獎勵，對那些不負(fù)責(zé)、考核不合格的導(dǎo)師實施嚴(yán)厲的處罰措施，必要時可以廢除導(dǎo)師終生制．
2更新課程內(nèi)容，突出前沿性
教材建設(shè)必須突出概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科的特點．按應(yīng)用程度不同，可把學(xué)科分為基礎(chǔ)學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科兩大類．對于基礎(chǔ)學(xué)科的教材應(yīng)注重理論基礎(chǔ)，在理論的難點上能激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造性思維能力，概率統(tǒng)計專業(yè)研究生必須具備扎實的理論基礎(chǔ);而對于應(yīng)用學(xué)科的教材應(yīng)注重理論和實踐相結(jié)合能力的培養(yǎng)，誘發(fā)學(xué)生的實踐興趣，指導(dǎo)學(xué)生的實踐操作，啟發(fā)學(xué)生在實踐中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，提高創(chuàng)新能力．例如《隨機過程》教材可選用應(yīng)堅剛和金蒙偉編著的建立在測度論基礎(chǔ)上的教材《隨機過程基礎(chǔ)》，《高等數(shù)理統(tǒng)計》可選用茆詩松等編著的教材《高等數(shù)理統(tǒng)計》．必須指出的是，這些教材內(nèi)容也比較陳舊，缺少一些新的前沿研究動態(tài)．所以教師在授課時，應(yīng)一方面對經(jīng)典內(nèi)容加以精選，減少重復(fù);另一方面要運用新的研究成果對經(jīng)典內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)新處理，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入科研的前沿陣地．?dāng)?shù)理統(tǒng)計學(xué)教材應(yīng)強化計算機運用統(tǒng)計軟件的能力，將數(shù)據(jù)的收集、分析、綜合的概念貫穿始終．
3推行研究型教學(xué)方法，開展學(xué)術(shù)討論班
研究型教學(xué)是以研究、討論為基本特征的一種教學(xué)活動．這種教學(xué)模式是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行，以學(xué)生自主學(xué)習(xí)和課堂討論為前提，以教學(xué)中的重點、難點內(nèi)容、有爭議的學(xué)術(shù)問題或?qū)W術(shù)前沿?zé)狳c問題為研究內(nèi)容，通過學(xué)生查閱資料、獨立鉆研展開課堂討論和交流，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，調(diào)動學(xué)生的創(chuàng)新欲望，而達(dá)到教學(xué)目的的一種教學(xué)方法．這種教學(xué)方法可充分調(diào)動研究生課堂學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀能動性．研究生學(xué)習(xí)的目的是創(chuàng)新．高遠(yuǎn)遼闊的思維空間、自由輕松的學(xué)術(shù)環(huán)境和開放活躍的思維狀態(tài)是創(chuàng)新的理想條件．而討論班就是在一種寬松隨意的氛圍下對學(xué)術(shù)熱點問題各抒己見，使思想在碰撞中產(chǎn)生火花，從他人的見解中獲得啟發(fā)、拓展研究思路．導(dǎo)師可以將研究生按照不同的研究方向分成若干個研究小組，小組內(nèi)不定期進(jìn)行學(xué)術(shù)討論活動，而且不同研究方向的研究生也可以相互交流借鑒，取長補短．這樣不僅能使不同研究領(lǐng)域的思想和方法得以相互借鑒，提高研究水平，而且能避免工作的重復(fù)和人力資源的浪費．學(xué)生在認(rèn)真閱讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對所讀文獻(xiàn)進(jìn)行歸納、總結(jié)、提煉、整理并寫出讀書報告，然后在討論班上講解，師生之間展開互動討論．這樣可以營造濃厚的學(xué)術(shù)氛圍，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，從而提高研究生的科研能力．
4深化課程體系，開設(shè)交叉學(xué)科課程
概率統(tǒng)計專業(yè)研究生的知識不應(yīng)局限于自己或?qū)熝芯空n題的一個狹窄范圍，而應(yīng)當(dāng)對本學(xué)科的歷史、現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢，對本學(xué)科和相關(guān)學(xué)科比如基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運籌學(xué)、計算數(shù)學(xué)及應(yīng)用領(lǐng)域的關(guān)系有比較清楚的認(rèn)識，改變孤立的知識系統(tǒng)和專而不博的知識結(jié)構(gòu)．具體到課程設(shè)置上就應(yīng)該減少專業(yè)必修課，增加與專業(yè)相關(guān)的選修課，進(jìn)一步拓寬研究生視野，培養(yǎng)基礎(chǔ)寬厚、能適應(yīng)社會各種需要的高層次人才．例如概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)研究生必修課程可設(shè)《泛函分析》、《測度論》、《隨機過程》、《高等數(shù)理統(tǒng)計》．此外，現(xiàn)代社會需要的是具有綜合素質(zhì)的復(fù)合型人才，因此需要通過多學(xué)科的教學(xué)，實現(xiàn)跨學(xué)科、跨學(xué)院的課程設(shè)置，使學(xué)生掌握各方面的知識和技能，以更好的適應(yīng)社會和未來工作的需要．例如可設(shè)置如下交叉課程:計量經(jīng)濟學(xué)、金融工程，金融統(tǒng)計學(xué)，生物統(tǒng)計學(xué)，遺傳統(tǒng)計學(xué)，計算統(tǒng)計學(xué)，模式識別，機器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘，可靠性工程，物流供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，計算機網(wǎng)絡(luò)等．
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；情報學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)模型
1、 引言
數(shù)學(xué)方法的運用是現(xiàn)代科學(xué)研究的主要特征之一，學(xué)術(shù)界甚至出現(xiàn)了這樣一種傾向：以數(shù)學(xué)方法的運用程度作為科學(xué)研究研究水平的評判標(biāo)準(zhǔn)。情報學(xué)由定性研究走向定量研究，數(shù)學(xué)方法越來越多地被引入情報學(xué)研究。[1]
由國防科工委情報所八室編科技文獻(xiàn)出版社1988年12月出版的《情報數(shù)學(xué)》是中國最早論述情報科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)之間的結(jié)合部的一本專著。[2]
數(shù)學(xué)這是所有學(xué)科中的基礎(chǔ)的學(xué)科，如果哪門學(xué)科沒有加入數(shù)學(xué)很難說其已經(jīng)建成了真正的科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)方法對于圖書館學(xué)情報學(xué)理論、方法、實踐領(lǐng)域以及所拓展的研究方向，都發(fā)揮著不可替代的作用。[3]
2、 數(shù)學(xué)方法在情報學(xué)中的應(yīng)用
2.1計量學(xué)
計量學(xué)是情報學(xué)領(lǐng)域最為常用的數(shù)學(xué)方法之一。1934- 1960年是文獻(xiàn)計量學(xué)的奠定時期。這一時期的研究比較注重理論研究與規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。獻(xiàn)計量學(xué)中大量的規(guī)律和定律都是在這段時間內(nèi)提出的， 其中包括文獻(xiàn)計量學(xué)中著名的三大定律中的布拉德福定律和齊普夫定律。在此階段， 除了對文獻(xiàn)計量學(xué)的基本規(guī)律進(jìn)行了研究以外，還對其他規(guī)律進(jìn)行研究。例如文獻(xiàn)的引用規(guī)律、文獻(xiàn)的增長規(guī)律及文獻(xiàn)的老化規(guī)律。之后，又有許多文獻(xiàn)計量學(xué)的概念、規(guī)律和方法被提出。從科學(xué)引文索引的發(fā)行以來， 從實際應(yīng)用的角度計量學(xué)分成兩種類型類型： 評價類和關(guān)聯(lián)類。
計量學(xué)很好地利用了數(shù)學(xué)的思維方式，即運用數(shù)和量來發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律和聯(lián)系。
2.2集合理論
假如一個系統(tǒng)可以劃分成N種類別，并且各個類別之間的關(guān)系可以被清楚地表達(dá)出來，那么這個系統(tǒng)就能很方便地建立起一個集合模型，例如集合論在的主題詞系統(tǒng)中的應(yīng)用。
情報集合是一個集合，由許多條情報組成。也就是說一條條情報便是集合中的元素。實際上每條情報也是一個集合，它是由一個個概念詞組合而成。為著錄和查詢情報而編制的主題詞索引也組成一個主題詞集合。主題詞集合與對應(yīng)的情報集合存在著一定的對應(yīng)關(guān)系，即存在一個映射F，能夠完成主題詞集合到情報集合的映射。
2.3模糊數(shù)學(xué)
模糊數(shù)學(xué)又被叫作Fuzzy 數(shù)學(xué)，是用于研究和處理模糊性現(xiàn)象的一套數(shù)學(xué)理論和方法。它是模糊拓?fù)?、模糊測度論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的統(tǒng)稱，是在模糊集合、模糊邏輯基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)工具，用來研究現(xiàn)實世界中許多界限不明確以及存在模糊性 的問題的。
情報學(xué)領(lǐng)域存在大量模糊現(xiàn)象，僅靠隨機數(shù)學(xué)和明確數(shù)學(xué)方法很難解決所有問題。模糊數(shù)學(xué)的引入提供了很好的視角。情報學(xué)領(lǐng)域經(jīng)常采用的模糊數(shù)學(xué)的方法包括模糊算法，模糊匹配，模糊評價法，模糊聚類，模糊推理，模糊加權(quán)等。模糊數(shù)學(xué)在情報學(xué)中的應(yīng)用，如信息檢索的動態(tài)模糊聚類現(xiàn)象，可以使用模糊數(shù)學(xué)理論和方法描述作出模糊判斷。模糊數(shù)學(xué)在該領(lǐng)域迅速地應(yīng)用，顯示出獨特功能。如建立網(wǎng)絡(luò)信息聚類的模糊模型。
2.4概率論與統(tǒng)計學(xué)
統(tǒng)計學(xué)是一門相對綜合的科學(xué)，主要是通過搜集、整理、分析等技術(shù)手段達(dá)到推斷所測對象的本質(zhì)，甚至能預(yù)測對象未來的科學(xué)，在此過程中運用大量的數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的專業(yè)知識，它的使用范圍極廣泛，幾乎覆蓋了社會科學(xué)和自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。統(tǒng)計學(xué)在情報學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用跟計量學(xué)有時候不太好區(qū)分，但是兩者的應(yīng)用領(lǐng)域還是比較明顯的。統(tǒng)計學(xué)在醫(yī)學(xué)情報學(xué)這個大的情報學(xué)分支上應(yīng)用相對較多，而且也已經(jīng)相當(dāng)成熟。在處理情報的過程中的遇到的事件大多為隨機事件，比如情報用戶需求，情報的分布情況等。對于研究這種類型的問題，常采用數(shù)理統(tǒng)計方法。情報數(shù)理統(tǒng)計分析包括多種分析方法，例如情報分布統(tǒng)計分析，情報用戶需求的統(tǒng)計分析，情報統(tǒng)計分析與預(yù)測，建立情報檢索概率模型等。一般可將概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法結(jié)合來進(jìn)行處理，目的是可以看出變動的趨勢，并且可以計算出各種可能出現(xiàn)的結(jié)果的比例和分布。例如情報分布情況的概率統(tǒng)計模型，情報檢索系統(tǒng)的概率統(tǒng)計模型等。[4]
2.5線性代數(shù)
向量常常用來描繪與多個因素有關(guān)的一個問題，而矩陣描述的是與多個因素有關(guān)的一組問題， 其中最特殊的問題是線性代數(shù)中的線性方程組問題。
情報學(xué)中對于類概念詞（包括主題詞、關(guān)鍵詞、標(biāo)引詞、類名等）的組配規(guī)則， 它們之間存在的多維性及它們因整體所顯示的某種線性空間的性質(zhì)的重視， 是矩陣?yán)碚撆c向量理論運用到情報工作中的前提條件。因為情報工作中亦存在著多維概念空間， 或者說存在著需要通過多個因素的量進(jìn)行描述的問題， 這為線性代數(shù)應(yīng)用于情報工作創(chuàng)造了最為堅實的基礎(chǔ)。矩陣和向量在情報學(xué)中的應(yīng)用主要是在計算機檢索， 線性代數(shù)方法既是計算機檢索系統(tǒng)模擬方法之一， 也是計算機擴檢和縮檢的手段之一。 情報檢索系統(tǒng)采用的矩陣向量模型改進(jìn)了傳統(tǒng)檢索的思路， 檢索速度更快， 檢索效率更高。線性代數(shù)方法還用于解釋和預(yù)見情報活動中的實際具體問題，如著名的普萊斯指數(shù)增長模型，引文檢索系統(tǒng)中的矩陣向量。[5]
3、 數(shù)學(xué)方法在情報學(xué)應(yīng)用的發(fā)展趨勢
首先，新的理論成果與新的方法滲透到情報學(xué)的研究工作中。數(shù)學(xué)方法作為一種研究方法適應(yīng)各種科學(xué)研究的特點，最重要的是數(shù)學(xué)中的各種理論方法不斷吸收自然科學(xué)研究中的新成果來完善自身。[6]
其次，定性和定量方法相結(jié)合。定性方法和定量方法相結(jié)合的研究方法日益成為情報學(xué)研究方法的主流，數(shù)學(xué)方法能夠有效地把兩種方法有機地結(jié)合起來。由定量分析上升至有相對數(shù)量依據(jù)的定性判斷，最終形成具有足夠根據(jù)的科學(xué)結(jié)論。
第三，利用計算機輔助建模及模型求解是發(fā)展的新趨勢。情報系統(tǒng)涉及的因素、變量經(jīng)常是眾多的，有時計算量之大超出人的能力。計算機計算速度快、信息儲存量大、計算結(jié)果準(zhǔn)確的特點，特別是專業(yè)性軟件的開發(fā)與應(yīng)用可幫助研究者處理復(fù)雜問題。（作者單位：吉林大學(xué)管理學(xué)院）
參考文獻(xiàn)：
[1]劉達(dá). 情報學(xué)的新領(lǐng)域——情報計量學(xué)[J]. 情報學(xué)刊，1981，04：48-51.
[2]張芝蘭. 《情報數(shù)學(xué)》[J]. 圖書情報工作，1989，05：30.
[3]賴茂生. 數(shù)字化時代的情報學(xué)[J]. 圖書情報工作，2007，04：25-29.
[4]馬喜武. 數(shù)學(xué)方法在圖書情報學(xué)中的應(yīng)用[J]. 吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院學(xué)報，2007，04：63-64.
關(guān)鍵詞：統(tǒng)計測度；統(tǒng)計學(xué)；大數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)科學(xué)；
作者簡介：李金昌，男，50歲，浙江義烏人。浙江財經(jīng)大學(xué)校長，統(tǒng)計學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。研究方向為經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)，統(tǒng)計理論與方法，抽樣技術(shù)，政府統(tǒng)計等。
最近兩年，統(tǒng)計學(xué)界對大數(shù)據(jù)問題所進(jìn)行的理論探討逐漸增多，視角也各有千秋，引起了一些共鳴。圍繞大數(shù)據(jù)問題，由統(tǒng)計學(xué)、計算機科學(xué)、人工智能、數(shù)學(xué)等學(xué)科共同支撐的數(shù)據(jù)科學(xué)開始形成。但大數(shù)據(jù)畢竟是一個新課題，因此遠(yuǎn)未達(dá)到對其有一個系統(tǒng)完整的認(rèn)識，仍然需要從不同的方面加以研究，其中有一個重要但又容易被忽視的問題，即統(tǒng)計測度問題，值得去探討。
一、什么是統(tǒng)計測度
漢語上，測度是指猜測、揣度、估計。數(shù)學(xué)上，測度是一個函數(shù)，它對一個給定集合的某些子集指定一個數(shù)，這個數(shù)可以比作大小、體積、概率等等。通俗地說，測度把每個集合映射到非負(fù)實數(shù)來規(guī)定這個集合的大小：空集的測度是0；集合變大時測度至少不會減小(因為要加上變大的部分的測度，而它是非負(fù)的)。
除了數(shù)學(xué)角度的測度論，查閱國內(nèi)文獻(xiàn)資料，帶有測度這個詞匯的文獻(xiàn)不少，但專門針對統(tǒng)計測度(或測度)內(nèi)涵的討論幾乎沒有。一些對社會經(jīng)濟現(xiàn)象進(jìn)行分析測度的文獻(xiàn)，例如新型工業(yè)化進(jìn)程測度、貨幣流動性測度、全面小康社會發(fā)展進(jìn)程測度、收入分配公平性測度、技術(shù)效率測度、人力資本測度、金融風(fēng)險測度、產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)測度等等，所做的測度都是再測度，均不對測度本身進(jìn)行討論。查閱國外文獻(xiàn)資料(關(guān)鍵詞：measurement)，也同樣存在這樣的問題，只能收集到一些比較零散的表述。LudwikFinkelstein(1975)[1]認(rèn)為，在我們對事物或現(xiàn)象進(jìn)行描述時，測度可以被定義為對現(xiàn)實世界中某一現(xiàn)象的個體屬性或特征進(jìn)行量化的過程。JamesT.Townsend和F.GregoryAshby(1984)[2]認(rèn)為，如果按照極端的觀點，那么統(tǒng)計分析中的基本測度理論的含義仍然是存在爭議的。LudwikFinkelstein(2003)[3]指出，測度在那些原來尚未得到卓有成效或廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域，也已取得了明顯的進(jìn)步，社會、政治、經(jīng)濟和行為科學(xué)正在更大程度地利用定量技術(shù)；測度是現(xiàn)代思維的一種實際有效的工具，是我們借以描述世界的一種方法。GiovanniBattistaRossi(2007)[4]認(rèn)為，用以表示測度結(jié)果的，是數(shù)字或者數(shù)字符號。LucaMari(2013)[5]認(rèn)為，測度的基礎(chǔ)特征是被公認(rèn)為世界上獲取并正式表達(dá)信息的基本方法，這讓它成為一種跨學(xué)科的工具。LudwikFinkelstein(2014)[6]指出，在自然科學(xué)技術(shù)中，測度的重要性不可否認(rèn)，它是科學(xué)調(diào)查和發(fā)現(xiàn)必不可少的工具，它可將宇宙中的復(fù)雜現(xiàn)象用精確、簡潔和普遍的數(shù)學(xué)語言來描述。
那么，到底什么是統(tǒng)計測度呢？目前沒有一個統(tǒng)一的定義。本文認(rèn)為，統(tǒng)計測度具有不同于測度的意義，并且大大超越數(shù)學(xué)上的界定，即它具有數(shù)學(xué)定義的一般屬性，但又不受制于函數(shù)表現(xiàn)形式，因為統(tǒng)計測度所要面對的是現(xiàn)實世界，實際問題要比理論上可以定義的問題復(fù)雜得多。按照我們的理解，統(tǒng)計測度就是用一定的符號和數(shù)字，用一定的形式和載體，對所研究的現(xiàn)象或事物的特征進(jìn)行量化反映，表現(xiàn)為可用于統(tǒng)計分析的數(shù)據(jù)的過程。它應(yīng)該具有這樣一些屬性：以實際現(xiàn)象為測度對象，測度結(jié)果具有實際意義；以量化為目的，把信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量，提供人們?nèi)菀桌斫獾亩拷Y(jié)論；個體特征的測度符合形成總體定量結(jié)論的要求，同時能夠體現(xiàn)個體差異。可以發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計測度需要借用數(shù)學(xué)工具，但更重要的是對具體測度現(xiàn)象本質(zhì)特征的認(rèn)識和掌握。
統(tǒng)計測度可以從若干不同角度進(jìn)行分類。邱東教授(2012)[7]曾在“宏觀測度的邊界悖律及其意義”一文中，從邊界的角度對宏觀測度進(jìn)行了分類：一是因事物本身可測度性而形成的邊界，即本體論意義上的測度邊界；再一是由人的認(rèn)知能力而形成的邊界，即認(rèn)識論意義上的測度邊界；第三則是由統(tǒng)計相關(guān)性偏好和投入約束而形成的邊界，即操作意義上的測度邊界。這三條測度邊界，應(yīng)該以本體論意義的測度邊界最大，認(rèn)識論意義的測度邊界次之，而操作意義的測度邊界最小。這樣的分類，對于我們正確理解統(tǒng)計測度的內(nèi)涵很有幫助。受此啟發(fā)，筆者認(rèn)為統(tǒng)計測度還可以有如下分類：
1.從測度的實現(xiàn)形式看，可以分為原始測度和再測度。原始測度也可以稱為直接測度，它通過對測度對象進(jìn)行直接測度來獲取數(shù)據(jù)，例如清點庫存物品數(shù)量、丈量作物播種面積、觀察培育細(xì)菌數(shù)目、檢測藥物成分等獲得的數(shù)據(jù)，以及各種登記、記錄的原始數(shù)據(jù)等等。再測度也稱為間接測度，它以其他已知的測度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)去計算、推算或預(yù)測所需的未知數(shù)據(jù)，例如根據(jù)GDP和人口數(shù)測度人均GDP、根據(jù)人口普查分年齡人口數(shù)據(jù)測度老齡化系數(shù)和社會負(fù)擔(dān)系數(shù)、根據(jù)相關(guān)指標(biāo)數(shù)據(jù)測度CPI的變化等等。復(fù)雜的再測度則需要借助相應(yīng)的統(tǒng)計模型作為工具，因為它實際上是對相關(guān)變量之間的關(guān)系進(jìn)行定量反映。從兩者關(guān)系上看，原始測度是基礎(chǔ)，是根本，沒有科學(xué)的原始測度就不會有可靠的再測度；再測度則是測度功能提升的必然要求，以解決原始測度不能解決的問題。
2.從測度的計量方式看，可以分為自然測度、物理測度、化學(xué)測度、時間測度和價值測度。自然測度是利用現(xiàn)象的自然屬性所進(jìn)行的一種統(tǒng)計測度，例如人口規(guī)模、企業(yè)數(shù)量等的測度，采用自然計量單位；物理測度是利用現(xiàn)象的物理屬性所進(jìn)行的一種統(tǒng)計測度，例如公路長度、作物播種面積、天然氣產(chǎn)量等的測度，采用物理計量單位；化學(xué)測度是利用現(xiàn)象的化學(xué)屬性所進(jìn)行的一種統(tǒng)計測度，例如醫(yī)學(xué)、生物學(xué)中化學(xué)合成物的成分結(jié)構(gòu)測度，采用百分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)或特定標(biāo)識為計量單位；時間測度是利用現(xiàn)象的時間屬性所進(jìn)行的一種統(tǒng)計測度，例如勞動用工、閑暇時間等測度，采用時間計量單位；價值測度是利用現(xiàn)象的價值屬性所進(jìn)行的一種統(tǒng)計測度，例如勞動報酬、經(jīng)濟活動成果等測度，采用貨幣計量單位。在這些測度計量方式中，價值測度因最具有綜合功能而應(yīng)用最為廣泛。
3.從測度的方法看，可以分為計數(shù)測度、測量測度、實驗測度、定義測度和模型測度。計數(shù)測度是一種通過觀測計數(shù)來獲得數(shù)據(jù)的方法，最為簡單，一般用于自然測度或時間測度；測量測度是一種根據(jù)物理或化學(xué)規(guī)制對現(xiàn)象進(jìn)行測量、測算來獲得數(shù)據(jù)的方法，一般用于物理測度或化學(xué)測度；實驗測度是一種按照科學(xué)實驗原理、通過觀察實驗對象在既定條件下的反應(yīng)來獲得數(shù)據(jù)的方法，一般與測量測度相結(jié)合，用于獲取科學(xué)研究數(shù)據(jù)；定義測度也可以稱之為指標(biāo)測度，是一種通過探究現(xiàn)象的本質(zhì)特征和活動規(guī)律、歸納出表現(xiàn)其數(shù)量特征的范疇、給出統(tǒng)計指標(biāo)定義(包括內(nèi)容、口徑、計算方法和表現(xiàn)形式等)來獲取數(shù)據(jù)的方法，最常用于價值測度，也用于其他形式的測度?？梢哉f，定義測度方法應(yīng)用最為廣泛，但也最為困難。模型測度是一種根據(jù)現(xiàn)象與現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系關(guān)系、或者現(xiàn)象自身的發(fā)展變化規(guī)律，通過建立一定的方程模型來獲取數(shù)據(jù)的方法。前面三種統(tǒng)計測度方法基本上都屬于直接測度，定義測度既可能是直接測度、也可能是間接測度，而模型測度都屬于間接測度方法。
4.從測度的維度看，可以分為單一測度與多維測度。單一測度是指采用單一的方式方法對所研究現(xiàn)象或事物進(jìn)行單一角度的測度，獲得單一的數(shù)據(jù)。多維測度是指對所研究現(xiàn)象或事物進(jìn)行多角度的測度，測度過程中可能需要采用多種測度方法和計量方式，例如多指標(biāo)綜合評價就需要借助統(tǒng)計指標(biāo)體系對評價對象進(jìn)行多角度的測度。顯然，單一測度是多維測度的基礎(chǔ)。
二、統(tǒng)計測度是統(tǒng)計學(xué)的立足之本
首先，從統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展歷史看，是統(tǒng)計測度使統(tǒng)計學(xué)破繭而出。為什么主流觀點認(rèn)為政治算術(shù)是統(tǒng)計學(xué)的起源而不是國勢學(xué)？正是因為威廉·配第首次采用統(tǒng)計測度的方式進(jìn)行了國家實力的統(tǒng)計分析和有關(guān)推算，得出了令人信服的結(jié)論。威廉·配第在1693年出版的《政治算術(shù)》[8]中寫道“因為和只使用比較級或最高級的詞匯以及單純作思維的論證相反，我卻采用了這樣的方法(作為我很久以來就想建立的政治算術(shù)的一個范例)，即用數(shù)字、重量和尺度的詞匯來表達(dá)我自己想說的問題，只進(jìn)行能訴諸人們的感官的論證和考察在性質(zhì)上有可見的根據(jù)的原因”，這一觀點在統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展過程中產(chǎn)生了非常重要的影響。他的這段話雖然沒有出現(xiàn)測度一詞，但卻道出了測度的本質(zhì)，即讓事物變得明白、變得有根據(jù)，因為“數(shù)字、重量和尺度”就是測度、就是根據(jù)，用“數(shù)字、重量和尺度的詞匯來表達(dá)想說的問題”就是一種測度的思想，盡管測度的方式方法還很簡單。相反，國勢學(xué)雖然提出了歸納法這一統(tǒng)計學(xué)的基本方法并首創(chuàng)了統(tǒng)計學(xué)一詞，但由于沒有采用統(tǒng)計測度的方式進(jìn)行國勢問題的研究而難以修成正果。正如邱東教授[7]所說：“在配第之前，統(tǒng)計學(xué)的研究對象雖然是國家的態(tài)勢，但它在方法論上只是定性言說。一個國家的財富總量在本體論意義上是可以測度的。然而只是到了配第時期，人類才想到了要測度它，并發(fā)明了如何測度的基本方法。政治算術(shù)，即開創(chuàng)期的經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)，實現(xiàn)了從無到有的轉(zhuǎn)變，大大擴展了宏觀測度的認(rèn)識論邊界，因而才具有了統(tǒng)計學(xué)范式創(chuàng)新的革命性意義。”同樣，格朗特的《關(guān)于死亡表的自然觀察和政治觀察》也是人口統(tǒng)計測度方面的經(jīng)典之作，無論是原始測度還是再測度，都給后人留下了寶貴的財富。之后，統(tǒng)計學(xué)就是沿著如何更加科學(xué)、準(zhǔn)確測度世界這一主線而發(fā)展的。筆者曾在“從政治算術(shù)到大數(shù)據(jù)分析”一文[9]，對數(shù)據(jù)的變化與統(tǒng)計分析方法的發(fā)展進(jìn)行了粗淺的歸納，其主題實際上就是統(tǒng)計測度問題。
其次，從統(tǒng)計學(xué)的研究對象上看，統(tǒng)計測度是體現(xiàn)統(tǒng)計學(xué)數(shù)量性特征的前提條件。統(tǒng)計學(xué)的研究對象是現(xiàn)象的數(shù)量方面，或者說統(tǒng)計學(xué)是關(guān)于如何收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)。統(tǒng)計數(shù)據(jù)從何而來？從統(tǒng)計測度中來。數(shù)據(jù)不同于數(shù)字，數(shù)字是統(tǒng)計測度的符號，數(shù)據(jù)是統(tǒng)計測度的結(jié)果，這也正是統(tǒng)計學(xué)區(qū)別于數(shù)學(xué)之處。所以說，數(shù)據(jù)的本質(zhì)問題就是統(tǒng)計測度問題，故此統(tǒng)計測度是統(tǒng)計學(xué)的基本問題。這里重點討論兩個問題：一是統(tǒng)計測度與統(tǒng)計指標(biāo)的關(guān)系，二是統(tǒng)計測度面臨的新問題。關(guān)于第一個問題，本文認(rèn)為統(tǒng)計測度與統(tǒng)計指標(biāo)是一個事物的兩個方面，這個事物就是數(shù)據(jù)。統(tǒng)計指標(biāo)法是統(tǒng)計學(xué)的基本方法之一，盡管前面對統(tǒng)計測度從方式方法上進(jìn)行了分類，但從廣義上說所有統(tǒng)計測度都是定義測度，都表現(xiàn)為指標(biāo)。也就是說，任何統(tǒng)計測度———不論是直接測度還是間接測度，最終目的是獲得能夠讓人明白的數(shù)據(jù)，而表現(xiàn)數(shù)據(jù)的最主要形式就是統(tǒng)計指標(biāo)，其他表現(xiàn)數(shù)據(jù)的形式都是派生出來的。所以，統(tǒng)計測度就是根據(jù)所設(shè)定的統(tǒng)計指標(biāo)去獲得所需的數(shù)據(jù)。關(guān)于第二個問題，與后文所要論及的大數(shù)據(jù)有關(guān)，就是定性測度問題。在統(tǒng)計學(xué)中，數(shù)據(jù)可以分為兩類———定性數(shù)據(jù)與定量數(shù)據(jù)，其中定性數(shù)據(jù)又包括定類數(shù)據(jù)與定序數(shù)據(jù)兩種，它們屬于非結(jié)構(gòu)化或半結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)。相應(yīng)地，統(tǒng)計測度也可分為定性測度與定量測度。很顯然，只有定性測度與定量測度方法得到同步發(fā)展，統(tǒng)計學(xué)才能更加完善?？傮w上看，定量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計測度已經(jīng)比較完善，但定性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計測度還有很多問題尚待解決，難點就在于測度的切入點———如何提取有效的信息、如何最終轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計指標(biāo)。盡管關(guān)于定性數(shù)據(jù)分析的論著已經(jīng)不少，但還沒有從理論方法上建立起定性數(shù)據(jù)統(tǒng)計測度的體系，因此統(tǒng)計學(xué)在這方面的任務(wù)依然很重。
第三，從統(tǒng)計學(xué)的永恒主題看，通過科學(xué)的數(shù)據(jù)分析、得出有效的結(jié)論是其不變的追求，而數(shù)據(jù)分析過程就是綜合的統(tǒng)計測度過程。獲得數(shù)據(jù)的目的是為了發(fā)現(xiàn)隱含其中的有價值的信息，即發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后的數(shù)據(jù)，讓數(shù)據(jù)再生數(shù)據(jù)，從而滿足人們認(rèn)識事物、掌握規(guī)律、科學(xué)決策的需要。除了總量、結(jié)構(gòu)等基本信息外，更重要的是通過數(shù)據(jù)分析來呈現(xiàn)現(xiàn)象的變化規(guī)律與相互關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)，這種數(shù)據(jù)分析的過程，就是不斷進(jìn)行各種統(tǒng)計測度的過程，所以最終的統(tǒng)計分析結(jié)果實際上就是各環(huán)節(jié)、各方面的各種類型的統(tǒng)計測度的疊加結(jié)果，或者說是統(tǒng)計測度不斷放大的過程。大量針對社會經(jīng)濟現(xiàn)象進(jìn)行分析研究的文獻(xiàn)(不論是否冠以“測度”兩字)，只要有數(shù)據(jù)分析，都是如此。可以說，統(tǒng)計測度貫穿于統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析的全過程。但是，為什么很多統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析并沒有得出有效的結(jié)論呢？本文認(rèn)為原因就出在統(tǒng)計測度上，尤其是沒有首先解決好原始統(tǒng)計測度問題。應(yīng)該說，圍繞數(shù)據(jù)分析已經(jīng)建立起一整套比較完整的統(tǒng)計方法體系，很多方法也都身經(jīng)百戰(zhàn)、行之有效，但一旦原始統(tǒng)計測度有問題、數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確或不真實，那么任何方法都只是擺設(shè)。仔細(xì)研讀很多所謂的實證分析文獻(xiàn)，其重點均在于構(gòu)建什么樣的模型或運用什么樣的方法，雖然有的文獻(xiàn)也必須要討論選擇什么樣的變量(指標(biāo))這個問題，但并不是系統(tǒng)地從測度的角度進(jìn)行闡述，因此所用的模型越來越復(fù)雜，但所得的結(jié)論卻離實際情況越來越遠(yuǎn)。學(xué)界總是有這樣一種觀念：變量越多、符號越新奇、模型越復(fù)雜的文章才越有水平，似乎這樣分析所得的結(jié)論才越可靠。殊不知，不以科學(xué)可靠的原始統(tǒng)計測度為基礎(chǔ)，任何數(shù)據(jù)分析都會成為無源之水、無本之木，所得的結(jié)論也只是更精確的錯誤而已。本文認(rèn)為，任何脫離科學(xué)統(tǒng)計測度的統(tǒng)計分析都是毫無意義的，充其量是一種數(shù)字游戲而已。應(yīng)該樹立這樣一種觀念：科學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析首先取決于科學(xué)的統(tǒng)計測度，而不是首先取決于什么樣的分析模型，雖然模型也很重要。這也再一次證明，統(tǒng)計測度問題是統(tǒng)計學(xué)的根本問題。其實，歸根結(jié)底看，在統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析過程中，每一步分析都以前一步的測度為原始測度，每一步所用的方法都是統(tǒng)計測度方法，因此所有的統(tǒng)計分析方法都是統(tǒng)計測度方法。甚至可以說，統(tǒng)計學(xué)方法體系就是統(tǒng)計測度方法體系。
當(dāng)然，在實際的統(tǒng)計分析中，統(tǒng)計測度往往遇到一些困難，即有些指標(biāo)數(shù)據(jù)由于各種原因無法獲得，這就不得不采用替代這種途徑。例如，綠色GDP核算的概念已經(jīng)提出很多年，但為什么還沒有哪個國家真正公布綠色GDP數(shù)據(jù)，原因就是自然資源價值、生態(tài)環(huán)境價值等的統(tǒng)計測度目前還面臨著很大的困難，其背后存在著一系列有待進(jìn)一步研究和解決的理論與實踐問題，因此不少學(xué)者進(jìn)行了替代測度的探討。這一方面說明統(tǒng)計測度的重要性，另一方面說明統(tǒng)計測度替代的無奈性。但是，替代測度必須遵守相應(yīng)的規(guī)則與邏輯，要經(jīng)得起推敲。有的文獻(xiàn)明明知道有關(guān)變量無法測度、有關(guān)數(shù)據(jù)無法獲得，卻隨意地、不符合邏輯地進(jìn)行所謂的替代，結(jié)果是最后的結(jié)論不知替代成什么樣了，很難理解它的意義。關(guān)于替代測度的有效性問題，邱東教授[7]已有精辟的論述，在此不再展開討論。
三、統(tǒng)計測度是數(shù)據(jù)科學(xué)的基礎(chǔ)
籠統(tǒng)地講，數(shù)據(jù)科學(xué)就是以大數(shù)據(jù)為研究對象的科學(xué)，需要多學(xué)科交叉融合、共同支撐。由于大數(shù)據(jù)是快速增長的復(fù)雜數(shù)據(jù)，因此大數(shù)據(jù)分析僅有統(tǒng)計思維與統(tǒng)計分析方法是不夠的，還需要強大的數(shù)據(jù)處理能力與計算能力。只有把統(tǒng)計思維、統(tǒng)計方法與計算技術(shù)結(jié)合起來，才有可能真正挖掘出大數(shù)據(jù)中的有價值信息。本文認(rèn)為統(tǒng)計思維、統(tǒng)計方法與計算技術(shù)相結(jié)合的基礎(chǔ)就是科學(xué)的統(tǒng)計測度。
首先，大數(shù)據(jù)技術(shù)不能自行解決其計算和分析應(yīng)從何處著手的問題?，F(xiàn)代信息技術(shù)與互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，使人類進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代，也有人說進(jìn)入到數(shù)聯(lián)網(wǎng)時代，這意味著我們一方面被各種越來越多、越來越復(fù)雜的數(shù)據(jù)所包圍，另一方面又被數(shù)據(jù)中巨大的信息價值所吸引，想從中挖掘出可供決策之用的信息。如何挖掘大數(shù)據(jù)？人們已經(jīng)進(jìn)行了艱苦的探索，發(fā)展了很多專門的方法技術(shù)，并已嘗到了不少甜頭，但遠(yuǎn)未達(dá)到充分利用大數(shù)據(jù)中有效信息的目的，因為已有的大數(shù)據(jù)分析研究主要集中于計算機科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、計算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域，重點是計算能力與算法研究，而很少從統(tǒng)計學(xué)的角度進(jìn)行有針對的探討，還沒有真正進(jìn)入數(shù)據(jù)分析的深層。這里面實際上忽略了最基礎(chǔ)的統(tǒng)計測度問題。如果說，計算技術(shù)的發(fā)展能夠解決數(shù)據(jù)儲存與計算的能力問題，算法模型的改進(jìn)能夠解決大數(shù)據(jù)分析的綜合能力問題，那么它們?nèi)匀徊荒芙鉀Q對誰進(jìn)行計算與分析的問題，也即從何處著手的問題。無論是傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)，還是現(xiàn)在的包含大量非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)的大數(shù)據(jù)，要對它們進(jìn)行分析都必須找到正確的切入口，即分析的基本元素是什么，或者說需要測度什么。當(dāng)然，還有如何測度的問題。然后，才能進(jìn)行分組、綜合和構(gòu)建模型，否則大數(shù)據(jù)分析不會達(dá)到人們的預(yù)期。
其次，大數(shù)據(jù)之所以催生數(shù)據(jù)科學(xué)，就是為了通過多學(xué)科交叉融合來共同解決大數(shù)據(jù)分析中存在的問題，其中包括統(tǒng)計測度問題，這一點對于非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)尤為突出。實際上，大數(shù)據(jù)的本質(zhì)就是非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，一是體量大、比重高(超過95%)，二是變化快、形式多，三是內(nèi)容雜、不確定。通過各種社交網(wǎng)絡(luò)、自媒體、富媒體，以及人機對話和機器感應(yīng)記錄等產(chǎn)生的各種非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，例如各種文字、各種表情符號、各種聲音、各種圖像，到底表示什么？綜合在一起能體現(xiàn)什么規(guī)律？如何綜合各種信息？存在著大量有待研究的問題。其實，文字的長短、用詞、表達(dá)形式(敘述式、議論式、散文式、詩歌式，等)甚至字體大小與顏色，表情類型與偏好，聲音高低、頻率與情緒，圖像顏色等等，都是有特定意義的，即在特定環(huán)境條件下的反應(yīng)。所以，一句話或一段聲音的意義并非文字本身的意思，一個表情符號的意義并非符號表征的意思，一個圖像的意義并非圖像內(nèi)容與色彩本身的意思，因為背后有太多的未知。人們?yōu)g覽檢索各種信息的習(xí)慣、收看與回復(fù)郵件等信息的習(xí)慣、參與信息網(wǎng)絡(luò)的習(xí)慣、購物習(xí)慣與支付習(xí)慣等等，也是如此。更何況，同樣的網(wǎng)絡(luò)詞匯在不同的時間代表著不同的語義。這背后隱藏著的是人們的行為與社會關(guān)系，既具有個性又具有共性，極其復(fù)雜。所以對這樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，首先絕非是計算問題，也不是用什么模型問題，而首先是從何處著手、如何選取關(guān)鍵詞、如何選定關(guān)聯(lián)詞、可以用什么樣的指標(biāo)來綜合、可以用什么樣的表式來表現(xiàn)等問題，一句話就是統(tǒng)計測度問題。非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)的統(tǒng)計測度將主要是定義測度，這些問題不解決，分析模型也是難以構(gòu)建的，或者難以得出令人信服的結(jié)論。
例如，關(guān)于《紅樓夢》前80回與后40回是否同一作者的爭論，韋博成[10]進(jìn)行了綜合性的比較研究并提出了自己的觀點，他指出已有美國威斯康辛大學(xué)華裔學(xué)者陳炳藻教授(1980)[11]、我國華東師范大學(xué)陳大康教授(1987年)[12]和復(fù)旦大學(xué)李賢平教授(1987年)[13]等學(xué)者從統(tǒng)計學(xué)的角度進(jìn)行過專門的研究，但卻得出了不同的結(jié)論：陳炳藻教授認(rèn)為前80回與后40回均是曹雪芹所著；陳大康教授認(rèn)為前80回與后40回為不同人所著；李賢平教授認(rèn)為前80回是曹雪芹根據(jù)《石頭記》增刪而成，后40回是曹雪芹親友搜集整理原稿加工補寫而成。此外，還有其他一些學(xué)者進(jìn)行過類似的研究，也有一些不同的結(jié)論。為什么都通過提取關(guān)聯(lián)詞和統(tǒng)計的方法卻得出不同的結(jié)論？原因就在于用以分析的關(guān)聯(lián)詞不同，即統(tǒng)計測度的切入點不同，當(dāng)然也有統(tǒng)計方法上的差異，但前者是根本。至少存在幾個統(tǒng)計測度上的問題：提取單一維度的關(guān)聯(lián)詞還是多維度的關(guān)聯(lián)詞？提取什么類型的關(guān)聯(lián)詞(例如：關(guān)聯(lián)詞是名詞、形容詞還是動詞；是花卉、樹木、飲食、醫(yī)藥還是詩詞)？這些關(guān)聯(lián)詞可以綜合為什么樣的指標(biāo)？等等。由此可見，原始統(tǒng)計測度代表著數(shù)據(jù)分析的方向。
相比《紅樓夢》，大數(shù)據(jù)分析要復(fù)雜得多、困難得多。所以，數(shù)據(jù)科學(xué)除了需要數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、計算機科學(xué)與技術(shù)、人工智能等學(xué)科的交叉融合外，還需要與行為科學(xué)、語言學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科相結(jié)合，以便能很好地解決作為數(shù)據(jù)分析之前提的統(tǒng)計測度問題。
第三，數(shù)據(jù)科學(xué)將進(jìn)一步拓展統(tǒng)計測度的邊界，并提出更高的要求。伴隨著人類認(rèn)識世界的范圍的不斷拓展，統(tǒng)計測度的范圍也不斷擴大，從自然現(xiàn)象統(tǒng)計測度到人口現(xiàn)象、經(jīng)濟現(xiàn)象統(tǒng)計測度，再到社會現(xiàn)象、環(huán)境現(xiàn)象、政治現(xiàn)象等統(tǒng)計測度，幾乎已經(jīng)滲透到了所有可以想象到的領(lǐng)域。相應(yīng)地，統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析也從少量數(shù)據(jù)的分析進(jìn)入到了大數(shù)據(jù)分析。大數(shù)據(jù)的復(fù)雜性、不確定性和涌現(xiàn)性(王元卓等，2013)[14]，意味著統(tǒng)計測度的內(nèi)容大大增加，原來一些不能測度的數(shù)據(jù)被納入到了統(tǒng)計測度的范圍，按照邱東教授的說法就是統(tǒng)計測度的邊界大大擴展了。統(tǒng)計測度邊界的擴大，必須以統(tǒng)計測度能力的提升為前提，即要求統(tǒng)計學(xué)借助現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)一步提升處理和分析數(shù)據(jù)的能力———對大數(shù)據(jù)“化繁為簡”、“變厚為薄”的能力，這就必須以科學(xué)準(zhǔn)確的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計測度為前提，既改變統(tǒng)計思維，又創(chuàng)新統(tǒng)計分析方法，其中就包括統(tǒng)計測度思維、統(tǒng)計測度方法與統(tǒng)計測度標(biāo)準(zhǔn)。面對大量繁雜的數(shù)據(jù)，如果沒有更好的統(tǒng)計測度思路與方法，包括個體標(biāo)志定義方法、最小數(shù)據(jù)細(xì)胞分組與聚類方法、關(guān)聯(lián)詞含義的時間影響計量方法、定性測度指標(biāo)篩選方法、再測度路徑與方法、大數(shù)據(jù)統(tǒng)計測度評價標(biāo)準(zhǔn)等，那么統(tǒng)計學(xué)在數(shù)據(jù)科學(xué)發(fā)展過程中就難以發(fā)揮應(yīng)有的作用，數(shù)據(jù)科學(xué)也將裹足不前。這就是統(tǒng)計學(xué)邁向數(shù)據(jù)科學(xué)的重要挑戰(zhàn)之一。
綜上所述，統(tǒng)計測度的基礎(chǔ)性問題從統(tǒng)計學(xué)延伸到了數(shù)據(jù)科學(xué)，是兩者的共同基礎(chǔ)，并且對于數(shù)據(jù)科學(xué)而言顯得更為重要。大數(shù)據(jù)的復(fù)雜性、不確定性和涌現(xiàn)性導(dǎo)致了統(tǒng)計測度的難度猛增，亟需建立面向大數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計測度理論與方法。要通過研究大數(shù)據(jù)的復(fù)雜性、不確定性和涌現(xiàn)性特征的基本因素，以及這些因素之間的內(nèi)在聯(lián)系、外在指標(biāo)和測度方法，進(jìn)而研究基于先進(jìn)計算技術(shù)的大數(shù)據(jù)度量模型，構(gòu)建尋找面向計算的數(shù)據(jù)內(nèi)核或者數(shù)據(jù)邊界的基本方法?？傊?，建立有效易行的數(shù)據(jù)表示方法，即科學(xué)的統(tǒng)計測度方法，是數(shù)據(jù)科學(xué)必須解決的基礎(chǔ)問題之一。
四、創(chuàng)新與完善大數(shù)據(jù)統(tǒng)計測度方法
如前所述，統(tǒng)計學(xué)研究對象已經(jīng)從結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)延伸到了包括非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)在內(nèi)的一切數(shù)據(jù)，統(tǒng)計測度邊界得到了大大的擴展。按照邱東教授[7]曾經(jīng)引用過的海德格爾的話：“界限并不表示某一事物的發(fā)展到此為止，而是像希臘人所認(rèn)知的那樣，界限是某種事物開始展現(xiàn)的地方”，預(yù)示著統(tǒng)計學(xué)在數(shù)據(jù)科學(xué)發(fā)展階段的新起點已經(jīng)展現(xiàn)在我們面前。新的統(tǒng)計測度邊界催生統(tǒng)計測度方法的創(chuàng)新，統(tǒng)計測度方法的創(chuàng)新促進(jìn)統(tǒng)計測度邊界的拓展，兩者相輔相成，共同推動統(tǒng)計學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)的發(fā)展。為此，我們要系統(tǒng)梳理統(tǒng)計測度方法的發(fā)展歷程，面對大數(shù)據(jù)提出的新挑戰(zhàn)，大膽探索統(tǒng)計測度的新思路、新理論和新方法，為數(shù)據(jù)科學(xué)奠定堅實的統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)。為此提出如下幾點建議：
首先，要緊密結(jié)合現(xiàn)象的本質(zhì)去探求更科學(xué)的統(tǒng)計測度方法。本質(zhì)決定一切，既然統(tǒng)計測度的目的是獲得客觀反映現(xiàn)象本質(zhì)的數(shù)據(jù)，那么深入到現(xiàn)象本質(zhì)、認(rèn)識和掌握現(xiàn)象的本質(zhì)，是科學(xué)統(tǒng)計測度的關(guān)鍵，也是探求新的統(tǒng)計方法的出發(fā)點。換句話說，科學(xué)的統(tǒng)計測度方法能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的真正意義。例如，要探求社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析和測度方法，就必須了解社交網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)生背景、構(gòu)成要素、表現(xiàn)形式與基本特征，既要研究它的共性問題，又要研究它的個性問題與差異性，同時還要研究它的變化趨勢。只有這樣，才能掌握社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的構(gòu)成要件或元素，才能建立起科學(xué)的、能有效體現(xiàn)社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)意義的統(tǒng)計測度方法。再如，要分析研究電子商務(wù)數(shù)據(jù)，也必須先弄清楚什么是電子商務(wù)，尤其是弄清楚它與傳統(tǒng)的商業(yè)模式有什么不同(包括物流、資金流與信息流)、有哪些新生事物(包括時空特征、法律監(jiān)管)等等，否則統(tǒng)計測度無從下手或者抓不住要害。同時，作為一個新的研究領(lǐng)域，數(shù)據(jù)科學(xué)的理論基礎(chǔ)將與計算機科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、人工智能、數(shù)學(xué)、社會科學(xué)等有關(guān)，離不開對相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域知識與研究方法的借鑒，因此對相關(guān)領(lǐng)域的知識與研究方法的學(xué)習(xí)十分重要。否則，就會嚴(yán)重扭曲統(tǒng)計測度方法，胡亂設(shè)置測度標(biāo)志，這需要引起高度關(guān)注。
其次，要緊密結(jié)合大數(shù)據(jù)的特點去創(chuàng)新統(tǒng)計測度方法。大數(shù)據(jù)的特點是復(fù)雜性、不確定性和涌現(xiàn)性并存，構(gòu)成了多維的數(shù)據(jù)空間，里面蘊藏著豐富的信息資源，這是傳統(tǒng)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)不可比擬的。那么該從何處進(jìn)入這樣的數(shù)據(jù)空間？怎么進(jìn)去？又怎么出來？這歸根結(jié)底還是統(tǒng)計測度方法問題。因此，在開展大數(shù)據(jù)分析之前，首先要研究大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)性問題，包括大數(shù)據(jù)的內(nèi)在機理(包括大數(shù)據(jù)的演化與傳播機制、生命周期)，數(shù)據(jù)科學(xué)與社會學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、行為科學(xué)等之間的互動機制，以及大數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)與效能的規(guī)律性等等，為創(chuàng)新統(tǒng)計測度方法提供導(dǎo)向。本文認(rèn)為，再復(fù)雜的數(shù)據(jù)也有共性，再不確定的數(shù)據(jù)也有規(guī)律，再涌現(xiàn)的數(shù)據(jù)也有軌跡。網(wǎng)絡(luò)大數(shù)據(jù)背后的網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度、度分布、聚集系數(shù)、核數(shù)、介數(shù)等具有共性的特征與參數(shù)，是開展復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)(李國杰、程學(xué)旗，2012)[15]；大數(shù)據(jù)在時空維度上的分布形式、內(nèi)在結(jié)構(gòu)、動態(tài)變化和相關(guān)聯(lián)的規(guī)律，是找到大數(shù)據(jù)分析切入口、進(jìn)而簡化大數(shù)據(jù)表征的前提；大數(shù)據(jù)的涌現(xiàn)性軌跡(包括模式涌現(xiàn)性、行為涌現(xiàn)性和智慧涌現(xiàn)性)，是研究更多的社會網(wǎng)絡(luò)模型和理解網(wǎng)絡(luò)瓦解失效原因，理解人們網(wǎng)絡(luò)行為涌現(xiàn)特征(例如人們發(fā)郵件數(shù)量的時間分布特征)，以及探求大量自發(fā)個體語義融合連接形成有特定意義的通用語義之過程的路徑(靳小龍等，2013)[16]。也就是說，這些共性、規(guī)律和軌跡就是統(tǒng)計測度的主要依據(jù)，也是重點內(nèi)容。發(fā)展和創(chuàng)新能夠準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)大數(shù)據(jù)的共性、規(guī)律和軌跡的定量方法，其實就是發(fā)展和創(chuàng)新大數(shù)據(jù)統(tǒng)計測度方法。
第三，要緊密結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)以完善統(tǒng)計測度方法。復(fù)雜、多變和不斷涌現(xiàn)的大數(shù)據(jù)，不僅需要借助現(xiàn)代信息技術(shù)(包括硬件與軟件)來解決極其復(fù)雜的分析計算問題，也需要利用現(xiàn)代信息技術(shù)來解決其繁雜多樣的統(tǒng)計測度問題。對于大數(shù)據(jù)，不論是原始統(tǒng)計測度還是再測度，其復(fù)雜性或難度都不是傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)所能相提并論的，哪怕是基本的關(guān)聯(lián)詞計數(shù)、分類與匯總，其工作量之大也超乎想象，不借用現(xiàn)代信息技術(shù)幾乎是不可能完成的。而事實上，有些統(tǒng)計測度的內(nèi)容與方法本身也是以數(shù)據(jù)處理能力的提升為前提的?？梢哉f，脫離現(xiàn)代信息技術(shù)，人們難以承受大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計測度與分析任務(wù)；要把統(tǒng)計測度思想變?yōu)榭蓪崿F(xiàn)的統(tǒng)計測度方法，必須借助現(xiàn)代信息技術(shù)。為此，要充分利用各種信息技術(shù)和手段，把統(tǒng)計測度與數(shù)據(jù)清洗相結(jié)合、與數(shù)據(jù)分析模型相結(jié)合、與計算方法相結(jié)合，努力建立融自動搜索統(tǒng)計測度、動態(tài)演化統(tǒng)計測度和自主優(yōu)選統(tǒng)計測度為一體的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計測度方法體系。
一組精要的數(shù)學(xué)符號，一個簡單的數(shù)學(xué)公式，一條言簡深邃的數(shù)學(xué)定理，一種精彩絕倫的數(shù)學(xué)構(gòu)想……，無不閃現(xiàn)著這些數(shù)學(xué)巨人們思想深處那汩汩不息的美感之源所散發(fā)出的激情與脈動，其升騰出的美的氤氳，籠罩著一種思維上的靈逸和深遠(yuǎn)，帶給人們一絲迷醉其中的淡淡情愫。拉丁格言說得好：“美是真理的光輝?！比绻麑⑦@句話投射在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我想，大量的事例都可印證其簡約的表述之下所蘊涵的深遠(yuǎn)意境。但從更廣泛的意義看，美又何嘗不是一種力量，一種蓄以待發(fā)的、存乎自然與人最深處的追求本真的力量，一種屬性固有與理性追求的完美統(tǒng)一。不難體會到，數(shù)學(xué)的美——一種獨特的、兼具震撼力的美，本質(zhì)上包含了兩個側(cè)面的含義：主觀意義上的數(shù)學(xué)美與客觀意義上的數(shù)學(xué)美，即數(shù)學(xué)美既是一種人的能動的主觀感受與思維表達(dá)，又是內(nèi)蘊于客觀世界的現(xiàn)實存在。從這兩個側(cè)面出發(fā)，以一種全面、深刻、辯證的數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識為基礎(chǔ)，站在哲學(xué)平臺上，對數(shù)學(xué)美的本質(zhì)做進(jìn)一步的剖析與探討工作，既有理論的完善意義，又具有數(shù)學(xué)美育實踐的指導(dǎo)與促進(jìn)意義。鑒于此，筆者拙筆寫下了這篇斷想。
1數(shù)學(xué)美的存在性——客觀世界的反映
在客觀世界紛繁蕪雜的各種變化與現(xiàn)象中，時刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規(guī)律。美是客觀世界的本質(zhì)屬性，是引領(lǐng)整個客觀世界向前發(fā)展的內(nèi)在動力。數(shù)學(xué)美作為科學(xué)美的重要方面，就是對自然界中客觀存在的秩序與規(guī)律從數(shù)與形的角度給予反映和揭示。具體來說，對于美的存在性，我們可以從兩個方面來認(rèn)識與考察。
首先，客觀世界中處處滲透與體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美是對客觀世界內(nèi)在規(guī)律的反映。對于數(shù)學(xué)美與客觀世界之間的相互聯(lián)系，其實早在古希臘時期，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就開始著手研究。畢氏學(xué)派在研究音樂樂理的諧音與天體運行的軌道時，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)量關(guān)系上都滿足整數(shù)比，從而就此得出結(jié)論“宇宙間萬物的總規(guī)律，其本質(zhì)就是數(shù)的嚴(yán)整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認(rèn)識基礎(chǔ)上，畢氏學(xué)派試圖從數(shù)和數(shù)的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，進(jìn)而得到黃金比。這是數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識史上的一大突破。從古希臘到現(xiàn)在，黃金比在各種造型藝術(shù)中都有著重要的美學(xué)價值?，F(xiàn)代科學(xué)研究甚至表明，黃金比在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中也有著應(yīng)用價值，如優(yōu)選法中的0.618法。即使在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)保健領(lǐng)域中，都可以處處感受到它的存在與神奇。最令人驚奇的是，很多生物的形體比例也是等于黃金比。難道它們都懂得優(yōu)選法，自覺采用黃金比？不！這只能證明美學(xué)家的斷言：“美是一切事物生存和發(fā)展的本質(zhì)特征?！?/p>
其次，溯源于客觀世界的數(shù)學(xué)理論內(nèi)部也充滿著數(shù)學(xué)美。這種美本質(zhì)上間接地表征了客觀世界的固有規(guī)律。徐利治教授曾說過：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)、具有一般語言文學(xué)與藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美……如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異美等?！惫糯軐W(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！钡拇_，數(shù)學(xué)中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡單美的典范；希爾伯特以非構(gòu)造方法成功解決了代數(shù)不變量理論中的戈丹問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的簡單美；代數(shù)中的共扼根式、共扼復(fù)數(shù)、對稱多項式、對稱矩陣等。幾何中的軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等，都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美；運算、變換、函數(shù)，這三個分別隸屬代數(shù)、幾何、分析等不同數(shù)學(xué)分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統(tǒng)一于映射的概念，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美……。近代科學(xué)家開普勒更是一針見血地指出：“數(shù)學(xué)是這個世界之美的原型?！毖院喴赓W、意蘊深遠(yuǎn)的一句話，給人以深刻的思想啟迪。
2數(shù)學(xué)美的獨特性——內(nèi)隱而深邃的理智美與理性精神
英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣描述過數(shù)學(xué)的美：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地?！绷_素的這番精彩論述以“冷而嚴(yán)肅”“純凈”“崇高”“嚴(yán)格”“完滿的境地”等字眼來形容數(shù)學(xué)的美，辭藻華麗且思想深刻，將數(shù)學(xué)美的與眾不同淋漓盡致地展現(xiàn)在人們面前，再進(jìn)一步看，正如前面所論述的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)包含了兩個側(cè)面（主觀意義和客觀意義）。因此，從主觀與客觀及其相互聯(lián)系統(tǒng)一的角度來研究數(shù)學(xué)美的獨特性，必然會有助于我們更好地去理解與認(rèn)識數(shù)學(xué)美的內(nèi)在本質(zhì)。
第一，數(shù)學(xué)的美是內(nèi)在的美、隱蔽的美、深邃的美，美在數(shù)學(xué)思想內(nèi)部，數(shù)學(xué)美是客觀規(guī)律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動反映，是自然社會化的結(jié)果，是人的本質(zhì)力量對象化的結(jié)果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創(chuàng)造。因此，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美必須透過，“抽象、枯燥”的符號、公式及定理等洞察其內(nèi)部的數(shù)學(xué)思想：比如愛因斯坦創(chuàng)立的相對論可謂內(nèi)容豐富之極，但如果用式子表示的話，卻極其簡單：
E=mc[2],P=mv(E為能量，P為動量，m為質(zhì)量，c為真空中的光速）并非所有人都能意識到其中的美。其實，這兩個公式代表了愛因斯坦對人類貢獻(xiàn)的精華，它們深刻地揭示了微觀、宏面、宇觀的無數(shù)質(zhì)能變化現(xiàn)象的規(guī)律，但式子卻非常簡單。其用字之少，內(nèi)容之豐富，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美。再比如，數(shù)學(xué)家們把等式
e[πi]+1=0
視為最優(yōu)美的公式，美在哪里？其實，這個式子將算術(shù)中的"1""0"，代數(shù)中的"i"，幾何中的“π”，分析中的"e"神奇地統(tǒng)一在了一起，即它們相會于天橋：e[iθ]=cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。
第二，從價值追求的角度看，數(shù)學(xué)美實質(zhì)上體現(xiàn)了人的審美精神，這種精神說到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”；正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活，以試圖回答有關(guān)人類自身提出的一些問題”；正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規(guī)律”；正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得的知識的最深刻的、最完美的學(xué)科內(nèi)涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是筆者從羅素的論述中感悟到的數(shù)學(xué)美的精神層面的獨特內(nèi)涵。
3數(shù)學(xué)美的驅(qū)動性——個人創(chuàng)新與數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動力
對于數(shù)學(xué)美的追求歷來是科學(xué)家進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要內(nèi)部驅(qū)動力。阿達(dá)瑪與彭加勒都曾從心理學(xué)角度闡釋美與發(fā)明創(chuàng)造之間的關(guān)系。他們認(rèn)為，創(chuàng)造的本質(zhì)就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學(xué)美感。正如阿達(dá)瑪所說的：“科學(xué)美感，這種特殊的美感，是我們必須信任的向?qū)?，”因為，“唯有美感能預(yù)示將來的研究結(jié)果是否會富有成果?！睌?shù)學(xué)史的研究表明，希臘幾何學(xué)家之所以研究橢圓，可以說除了美感之外，再沒有什么其他動力了。著名物理學(xué)家麥克斯韋在沒有任何實驗依據(jù)的情況之下，僅從數(shù)學(xué)美的考慮出發(fā)，將實驗得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對稱優(yōu)美。令人驚異的是，改寫的方程競被后來的實驗證實了，而且利用方程還可推導(dǎo)出一系列令人陶醉的結(jié)果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動力與支配力。誠如愛因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不斷地給我新的勇氣去愉快地正視生活的理想，是善、美和真。”事實上，愛因斯坦所提出的科學(xué)思想，有很多是出于美學(xué)而不是邏輯的考慮。他對實驗和理論不相符的憂慮，甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及對基本原理的不簡潔、不和諧所引起的憂慮，而這正是刺激他的思想的源泉。
從廣泛的意義上看，對數(shù)學(xué)美的追求也在不斷推動整個數(shù)學(xué)向前發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史不啻是一部追求數(shù)學(xué)美的前進(jìn)史。比如，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)家們堅持不懈地追求數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，從而相繼誕生出三部數(shù)學(xué)巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數(shù)學(xué)原理》，布爾巴基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》。再如，出于邏輯簡單性的考慮，數(shù)學(xué)家們很早就對歐氏平行公理的自明性和獨立性產(chǎn)生懷疑，經(jīng)過幾個世紀(jì)的研究，最終導(dǎo)致非歐幾何的建立。此外，對于奇異性的追求也同樣推動了數(shù)學(xué)發(fā)展，對此，哥德爾不完備定理的提出可以說是一個極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程碑”。著名物理學(xué)家惠勒則更認(rèn)為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識也仍然放射出光芒的話，人們就將仍把哥德爾的工作……看成一切知識的中心?！?/p>
綜上所述，無論是對個人的創(chuàng)新，還是對數(shù)學(xué)科學(xué)的整體發(fā)展，數(shù)學(xué)美的推動作用都是毋庸質(zhì)疑的。從本質(zhì)上說，對于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性的追求過程就是個人與群體認(rèn)識不斷深化和發(fā)展的過程。正如鄭額信教授所說：“無論是對于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性或抽象性的追求，事實上都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的這樣一種特性：他們永不滿足于已取得的成果，而總是希望能獲得更深刻、更全面、更正確的認(rèn)識。因此，他們總是希望能將復(fù)雜的東西予以簡單化，將分散、零亂的東西予以統(tǒng)一，也總是希望能開拓新的研究領(lǐng)域……正是在這樣的過程中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美，而這事實上也就是認(rèn)識不斷得到發(fā)展和深化的過程。”
4數(shù)學(xué)美的甄別性——評價數(shù)學(xué)理論的重要標(biāo)準(zhǔn)之一
古往今來的很多數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都將數(shù)學(xué)美視作衡量自己或他人研究成果的重要評價尺度之一。數(shù)學(xué)美猶如一個篩子，數(shù)學(xué)家們利用這個篩子對理論中的各種因素做總體上的甄別與評判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統(tǒng)一。著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就曾說過：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要都是美學(xué)的。”龐卡萊則更明確地說：“數(shù)學(xué)家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風(fēng)……一個解答、一個證明的和諧、對稱以及恰到好處的平衡……能使我們對整體以及細(xì)節(jié)都能有清楚的認(rèn)識和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的地方。”
數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們之所以如此看重數(shù)學(xué)美，就是因為數(shù)學(xué)美的甄別性在一定程度上為該理論的發(fā)展前景作出了預(yù)測，同時也在一定程度上為科學(xué)家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產(chǎn)生始于17世紀(jì)，在當(dāng)時，由于人們對概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測度論的概率論。以數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)來評價，柯氏的理論體系，無疑極大地顯示了數(shù)學(xué)的簡單美與統(tǒng)一美，不僅對論述無限隨機實驗序列或一般的隨機過程給出了足夠的邏輯基礎(chǔ)，而且應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)也很方便。歷史的發(fā)展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進(jìn)一步發(fā)展，而且后來還產(chǎn)生了不少新的分支。正如Nobel物理學(xué)獎獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應(yīng)該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預(yù)言、解釋、提供范例，可用它來進(jìn)行工作，因而數(shù)學(xué)美能激起人們的熱情，對它的追求就好像是一種信仰行為……數(shù)學(xué)美是對理論具有決定取舍作用的一個準(zhǔn)則?！?/p>
5數(shù)學(xué)美的層次性——主觀客觀彼此交融的重要特征之一
根據(jù)前面的分析，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)體現(xiàn)在兩個側(cè)面，即它既是一種客觀世界的本質(zhì)屬性，又是人對于這種本質(zhì)屬性的主觀認(rèn)識與感受，且二者之間是辯證的融合。站在這樣的一種辨證的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)觀（數(shù)學(xué)的主觀美、客觀美及其你中有我、我中有你）平臺上，筆者認(rèn)為，從客體作用于主體的角度考察，客觀世界存在的各種數(shù)學(xué)美的外部呈現(xiàn)與反映體現(xiàn)出典型的層次性特征。從本質(zhì)上說，這種美的層次性特征既表達(dá)了客體美對人的感官、思維的沖擊上的層次差異性，又體現(xiàn)了個體對數(shù)學(xué)美的主觀認(rèn)識上的階段性與發(fā)展性。張猷宙和木振武兩位教授可謂對這一課題做了獨特而深入的研究，他們結(jié)合數(shù)學(xué)美育，從主觀認(rèn)識與客觀反映之間辨證聯(lián)系的角度出發(fā)，提出了數(shù)學(xué)美的四個層次：美觀、美好、美妙、完美，并以此為基點，探究優(yōu)化課堂教學(xué)的策略與構(gòu)想。在此，筆者相信，對該課題的研究將會是繼續(xù)深入、不斷完善的。
一組精要的數(shù)學(xué)符號，一個簡單的數(shù)學(xué)公式，一條言簡深邃的數(shù)學(xué)定理，一種精彩絕倫的數(shù)學(xué)構(gòu)想……，無不閃現(xiàn)著這些數(shù)學(xué)巨人們思想深處那汩汩不息的美感之源所散發(fā)出的激情與脈動，其升騰出的美的氤氳，籠罩著一種思維上的靈逸和深遠(yuǎn)，帶給人們一絲迷醉其中的淡淡情愫。拉丁格言說得好：“美是真理的光輝?！比绻麑⑦@句話投射在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我想，大量的事例都可印證其簡約的表述之下所蘊涵的深遠(yuǎn)意境。但從更廣泛的意義看，美又何嘗不是一種力量，一種蓄以待發(fā)的、存乎自然與人最深處的追求本真的力量，一種屬性固有與理性追求的完美統(tǒng)一。不難體會到，數(shù)學(xué)的美——一種獨特的、兼具震撼力的美，本質(zhì)上包含了兩個側(cè)面的含義：主觀意義上的數(shù)學(xué)美與客觀意義上的數(shù)學(xué)美，即數(shù)學(xué)美既是一種人的能動的主觀感受與思維表達(dá)，又是內(nèi)蘊于客觀世界的現(xiàn)實存在。從這兩個側(cè)面出發(fā)，以一種全面、深刻、辯證的數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識為基礎(chǔ)，站在哲學(xué)平臺上，對數(shù)學(xué)美的本質(zhì)做進(jìn)一步的剖析與探討工作，既有理論的完善意義，又具有數(shù)學(xué)美育實踐的指導(dǎo)與促進(jìn)意義。鑒于此，筆者拙筆寫下了這篇斷想。
1 數(shù)學(xué)美的存在性——客觀世界的反映
在客觀世界紛繁蕪雜的各種變化與現(xiàn)象中，時刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規(guī)律。美是客觀世界的本質(zhì)屬性，是引領(lǐng)整個客觀世界向前發(fā)展的內(nèi)在動力。數(shù)學(xué)美作為科學(xué)美的重要方面，就是對自然界中客觀存在的秩序與規(guī)律從數(shù)與形的角度給予反映和揭示。具體來說，對于美的存在性，我們可以從兩個方面來認(rèn)識與考察。
首先，客觀世界中處處滲透與體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美是對客觀世界內(nèi)在規(guī)律的反映。對于數(shù)學(xué)美與客觀世界之間的相互聯(lián)系，其實早在古希臘時期，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就開始著手研究。畢氏學(xué)派在研究音樂樂理的諧音與天體運行的軌道時，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)量關(guān)系上都滿足整數(shù)比，從而就此得出結(jié)論“宇宙間萬物的總規(guī)律，其本質(zhì)就是數(shù)的嚴(yán)整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認(rèn)識基礎(chǔ)上，畢氏學(xué)派試圖從數(shù)和數(shù)的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，進(jìn)而得到黃金比。這是數(shù)學(xué)美學(xué)認(rèn)識史上的一大突破。從古希臘到現(xiàn)在，黃金比在各種造型藝術(shù)中都有著重要的美學(xué)價值?，F(xiàn)代科學(xué)研究甚至表明，黃金比在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中也有著應(yīng)用價值，如優(yōu)選法中的0.618法。即使在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)保健領(lǐng)域中，都可以處處感受到它的存在與神奇。最令人驚奇的是，很多生物的形體比例也是等于黃金比。難道它們都懂得優(yōu)選法，自覺采用黃金比？不！這只能證明美學(xué)家的斷言：“美是一切事物生存和發(fā)展的本質(zhì)特征?！?/p>
其次，溯源于客觀世界的數(shù)學(xué)理論內(nèi)部也充滿著數(shù)學(xué)美。這種美本質(zhì)上間接地表征了客觀世界的固有規(guī)律。徐利治教授曾說過：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)、具有一般語言文學(xué)與藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美……如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異美等。”古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”的確，數(shù)學(xué)中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡單美的典范；希爾伯特以非構(gòu)造方法成功解決了代數(shù)不變量理論中的戈丹問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的簡單美；代數(shù)中的共扼根式、共扼復(fù)數(shù)、對稱多項式、對稱矩陣等。幾何中的軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等，都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美；運算、變換、函數(shù)，這三個分別隸屬代數(shù)、幾何、分析等不同數(shù)學(xué)分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統(tǒng)一于映射的概念，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美……。近代科學(xué)家開普勒更是一針見血地指出：“數(shù)學(xué)是這個世界之美的原型。”言簡意賅、意蘊深遠(yuǎn)的一句話，給人以深刻的思想啟迪。
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數(shù)學(xué)美的獨特性——內(nèi)隱而深邃的理智美與理性精神
英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣描述過數(shù)學(xué)的美：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地。”羅素的這番精彩論述以“冷而嚴(yán)肅”“純凈”“崇高”“嚴(yán)格”“完滿的境地”等字眼來形容數(shù)學(xué)的美，辭藻華麗且思想深刻，將數(shù)學(xué)美的與眾不同淋漓盡致地展現(xiàn)在人們面前，再進(jìn)一步看，正如前面所論述的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)包含了兩個側(cè)面（主觀意義和客觀意義）。因此，從主觀與客觀及其相互聯(lián)系統(tǒng)一的角度來研究數(shù)學(xué)美的獨特性，必然會有助于我們更好地去理解與認(rèn)識數(shù)學(xué)美的內(nèi)在本質(zhì)。
第一，數(shù)學(xué)的美是內(nèi)在的美、隱蔽的美、深邃的美，美在數(shù)學(xué)思想內(nèi)部，數(shù)學(xué)美是客觀規(guī)律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動反映，是自然社會化的結(jié)果，是人的本質(zhì)力量對象化的結(jié)果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創(chuàng)造。因此，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美必須透過，“抽象、枯燥”的符號、公式及定理等洞察其內(nèi)部的數(shù)學(xué)思想：比如愛因斯坦創(chuàng)立的相對論可謂內(nèi)容豐富之極，但如果用式子表示的話，卻極其簡單：
E=mc[2]，P=mv(E為能量，P為動量，m為質(zhì)量，c為真空中的光速）并非所有人都能意識到其中的美。其實，這兩個公式代表了愛因斯坦對人類貢獻(xiàn)的精華，它們深刻地揭示了微觀、宏面、宇觀的無數(shù)質(zhì)能變化現(xiàn)象的規(guī)律，但式子卻非常簡單。其用字之少，內(nèi)容之豐富，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美。再比如，數(shù)學(xué)家們把等式
e[πi]+1=0
視為最優(yōu)美的公式，美在哪里？其實，這個式子將算術(shù)中的"1""0"，代數(shù)中的"i"，幾何中的“π”，分析中的"e"神奇地統(tǒng)一在了一起，即它們相會于天橋：e[iθ]=cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。
第二，從價值追求的角度看，數(shù)學(xué)美實質(zhì)上體現(xiàn)了人的審美精神，這種精神說到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”；正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活，以試圖回答有關(guān)人類自身提出的一些問題”；正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規(guī)律”；正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得的知識的最深刻的、最完美的學(xué)科內(nèi)涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是筆者從羅素的論述中感悟到的數(shù)學(xué)美的精神層面的獨特內(nèi)涵。
3 數(shù)學(xué)美的驅(qū)動性——個人創(chuàng)新與數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動力
對于數(shù)學(xué)美的追求歷來是科學(xué)家進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要內(nèi)部驅(qū)動力。阿達(dá)瑪與彭加勒都曾從心理學(xué)角度闡釋美與發(fā)明創(chuàng)造之間的關(guān)系。他們認(rèn)為，創(chuàng)造的本質(zhì)就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學(xué)美感。正如阿達(dá)瑪所說的：“科學(xué)美感，這種特殊的美感，是我們必須信任的向?qū)?，”因為，“唯有美感能預(yù)示將來的研究結(jié)果是否會富有成果。”數(shù)學(xué)史的研究表明，希臘幾何學(xué)家之所以研究橢圓，可以說除了美感之外，再沒有什么其他動力了。著名物理學(xué)家麥克斯韋在沒有任何實驗依據(jù)的情況之下，僅從數(shù)學(xué)美的考慮出發(fā)，將實驗得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對稱優(yōu)美。令人驚異的是，改寫的方程競被后來的實驗證實了，而且利用方程還可推導(dǎo)出一系列令人陶醉的結(jié)果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動力與支配力。誠如愛因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不斷地給我新的勇氣去愉快地正視生活的理想，是善、美和真?！笔聦嵣?，愛因斯坦所提出的科學(xué)思想，有很多是出于美學(xué)而不是邏輯的考慮。他對實驗和理論不相符的憂慮，甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及對基本原理的不簡潔、不和諧所引起的憂慮，而這正是刺激他的思想的源泉。
從廣泛的意義上看，對數(shù)學(xué)美的追求也在不斷推動整個數(shù)學(xué)向前發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史不啻是一部追求數(shù)學(xué)美的前進(jìn)史。比如，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)家們堅持不懈地追求數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，從而相繼誕生出三部數(shù)學(xué)巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數(shù)學(xué)原理》，布爾巴基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》。再如，出于邏輯簡單性的考慮，數(shù)學(xué)家們很早就對歐氏平行公理的自明性和獨立性產(chǎn)生懷疑，經(jīng)過幾個世紀(jì)的研究，最終導(dǎo)致非歐幾何的建立。此外，對于奇異性的追求也同樣推動了數(shù)學(xué)發(fā)展，對此，哥德爾不完備定理的提出可以說是一個極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程碑”。著名物理學(xué)家惠勒則更認(rèn)為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識也仍然放射出光芒的話，人們就將仍把哥德爾的工作……看成一切知識的中心?！?/p>
綜上所述，無論是對個人的創(chuàng)新，還是對數(shù)學(xué)科學(xué)的整體發(fā)展，數(shù)學(xué)美的推動作用都是毋庸質(zhì)疑的。從本質(zhì)上說，對于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性的追求過程就是個人與群體認(rèn)識不斷深化和發(fā)展的過程。正如鄭額信教授所說：“無論是對于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性或抽象性的追求，事實上都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的這樣一種特性：他們永不滿足于已取得的成果，而總是希望能獲得更深刻、更全面、更正確的認(rèn)識。因此，他們總是希望能將復(fù)雜的東西予以簡單化，將分散、零亂的東西予以統(tǒng)一，也總是希望能開拓新的研究領(lǐng)域……正是在這樣的過程中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美，而這事實上也就是認(rèn)識不斷得到發(fā)展和深化的過程?！?/p>
4 數(shù)學(xué)美的甄別性——評價數(shù)學(xué)理論的重要標(biāo)準(zhǔn)之一
古往今來的很多數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都將數(shù)學(xué)美視作衡量自己或他人研究成果的重要評價尺度之一。數(shù)學(xué)美猶如一個篩子，數(shù)學(xué)家們利用這個篩子對理論中的各種因素做總體上的甄別與評判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統(tǒng)一。著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就曾說過：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要都是美學(xué)的。”龐卡萊則更明確地說：“數(shù)學(xué)家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風(fēng)……一個解答、一個證明的和諧、對稱以及恰到好處的平衡……能使我們對整體以及細(xì)節(jié)都能有清楚的認(rèn)識和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的地方?！?/p>
數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們之所以如此看重數(shù)學(xué)美，就是因為數(shù)學(xué)美的甄別性在一定程度上為該理論的發(fā)展前景作出了預(yù)測，同時也在一定程度上為科學(xué)家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產(chǎn)生始于17世紀(jì)，在當(dāng)時，由于人們對概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測度論的概率論。以數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)來評價，柯氏的理論體系，無疑極大地顯示了數(shù)學(xué)的簡單美與統(tǒng)一美，不僅對論述無限隨機實驗序列或一般的隨機過程給出了足夠的邏輯基礎(chǔ)，而且應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)也很方便。歷史的發(fā)展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進(jìn)一步發(fā)展，而且后來還產(chǎn)生了不少新的分支。正如Nobel物理學(xué)獎獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應(yīng)該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預(yù)言、解釋、提供范例，可用它來進(jìn)行工作，因而數(shù)學(xué)美能激起人們的熱情，對它的追求就好像是一種信仰行為……數(shù)學(xué)美是對理論具有決定取舍作用的一個準(zhǔn)則?！?/p>
5 數(shù)學(xué)美的層次性——主觀客觀彼此交融的重要特征之一
根據(jù)前面的分析，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)體現(xiàn)在兩個側(cè)面，即它既是一種客觀世界的本質(zhì)屬性，又是人對于這種本質(zhì)屬性的主觀認(rèn)識與感受，且二者之間是辯證的融合。站在這樣的一種辨證的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)觀（數(shù)學(xué)的主觀美、客觀美及其你中有我、我中有你）平臺上，筆者認(rèn)為，從客體作用于主體的角度考察，客觀世界存在的各種數(shù)學(xué)美的外部呈現(xiàn)與反映體現(xiàn)出典型的層次性特征。從本質(zhì)上說，這種美的層次性特征既表達(dá)了客體美對人的感官、思維的沖擊上的層次差異性，又體現(xiàn)了個體對數(shù)學(xué)美的主觀認(rèn)識上的階段性與發(fā)展性。張猷宙和木振武兩位教授可謂對這一課題做了獨特而深入的研究，他們結(jié)合數(shù)學(xué)美育，從主觀認(rèn)識與客觀反映之間辨證聯(lián)系的角度出發(fā)，提出了數(shù)學(xué)美的四個層次：美觀、美好、美妙、完美，并以此為基點，探究優(yōu)化課堂教學(xué)的策略與構(gòu)想。在此，筆者相信，對該課題的研究將會是繼續(xù)深入、不斷完善的。